John Nash y la teoría de Juegos

Se acaba de publicar el volumen de la Revista Española de Física en el que aparece un artículo mío, que a su vez traduce al español algo que publiqué hace muchos años en un volumen (en griego) en honor a John Nash (aquí la versión en inglés). Aunque Pedro Rey ya escribió una nota muy informativa sobre su trabajo cuando falleció Nash, me ha parecido que (como nos pasa con el contrato único) las cosas importantes se pueden repetir sin problema.

¿Qué ha hecho Nash para merecer tantos honores? En economía, la teoría de juegos es probablemente la herramienta más importante para comprender el mundo. Y John Nash, aunque no inventó la teoría de juegos, abrió el camino para dos cuestiones que tienen una importancia esencial en ella. A saber, Nash mostró la forma de resolver todos los juegos, y cómo utilizar la teoría de juegos para resolver problemas sociales. Ahora lo que toca es intentar explicar estas grandiosas cursivas.

Pero antes hay que explicar que es esto de teoría de juegos. Llamamos así, por motivos históricos, a lo que debería llamarse de manera más descriptiva teoría de decisión interactiva. Es decir, una teoría que permite describir y prescribir el comportamiento de decisores, en un contexto en el que los resultados de sus decisiones dependen de las acciones que tomen otros decisores. De ahí lo de teoría de juegos pues los primeros esfuerzos de la teoría se dedicaron a juegos de mesa, como el póker o el ajedrez. Y de ahí también el extremo interés para los economistas, pues como decía Karl Marx, la economía es “relaciones entre hombres disfrazada de relaciones entre cosas.”

Dicho de otra manera, no se puede entender la economía sin tener en cuenta que las decisiones de cada agente económico vienen influidas por las de otros muchos que están tomando otras decisiones, a los que a su vez influyen. Piensen en una empresa decidiendo su política comercial o de precios. A la hora de hacerlo tendrá que tener en cuenta cómo van a reaccionar competidores, clientes y proveedores, los cuales a su vez están tomando decisiones pensando en los demás.

En cuanto a su primera contribución, es cierto que otras personas habían propuesto soluciones para los juegos antes de Nash. John von Neumann (1928) propuso el criterio minimax, un concepto de la solución con una larga tradición en la teoría de la decisión. Cada jugador supone que para cada estrategia que elija, los demás jugadores escogerán la estrategia que le resulta más perjudicial. Y dado este supuesto, el jugador elige la estrategia óptima, dada esa reacción esperada de los demás. Como Von Neumann ya deja claro, este comportamiento ligeramente paranoide sólo tiene sentido para situaciones estrictamente competitivas, donde lo que es bueno para un jugador es necesariamente malo para el otro, juegos que se suelen llamar de suma cero o de suma constante. Con este concepto de solución, no importa mucho si se juega contra la naturaleza o contra otro jugador, o incluso quién sea ese jugador. Para encontrar la estrategia preferida sólo necesitamos pensar en nuestros propios resultados, también llamados pagos.

El aspecto revolucionario del concepto de solución de Nash, el equilibrio de Nash (1950a) es que utiliza en gran medida el aspecto que diferencia los juegos de contextos de teoría de decisión no interactiva. Los juegos son situaciones en las que los jugadores se enfrentan a otros decisores. Si los jugadores utilizan el criterio minimax, fuera de un juego de suma cero o suma constante, podrían estar cometiendo un terrible error. Al pensar que los otros jugadores son seres malignos que “van a por ellos”, podrían estar renunciando a posibles ganancias provenientes de la cooperación. En la mayoría de las aplicaciones de la teoría de juegos estas ganancias son omnipresentes. De hecho, se podría argumentan que lo que hace la teoría de juegos interesante desde un punto de vista aplicado es la mezcla de cooperación y competencia, un fenómeno generalizado en las interacciones de la vida real.

Así que la aplicabilidad de un concepto de solución que dependía de situaciones estrictamente competitivos sería muy reducido. El concepto de equilibrio de Nash, por otro lado, no tiene ese problema. Pero si los jugadores no son unos pesimistas que piensan que los demás jugadores van a dañarlos tanto como puedan, ¿qué deben pensar? Después de todo, se puede defender el criterio minimax porque está bien definido y es fácil de calcular, ya que un jugador sólo tiene que saber sus propios pagos. La respuesta que da el concepto de equilibrio de Nash suena radical la primera vez que la escuchas. Los agentes eligen las estrategias que son óptimas, dadas las estrategias que en realidad van a tomar los demás. Un macroeconomista diría que los jugadores tienen “expectativas racionales,” y pronostican con precisión las reacciones de los otros jugadores.

La pregunta inmediata es: ¿cómo puede un jugador saber lo que los otros jugadores van a hacer en realidad? Esto parece exigir poderes predictivos casi sobrenaturales a los decisores. Una respuesta posible la dieron otros estudiosos que habían propuesto el equilibrio de Nash avant la lettre como solución a algunos juegos particulares que estaban estudiando: Cournot (1838) en economía, cuando estudió el problema de oligopolio (decisiones de cantidades o precios a producir por parte de empresas con pocos competidores); o Fisher (1930) en biología, al estudiar el problema de la proporción de individuos de diferentes sexos.

Ambos respondieron que los agentes a través del tiempo “aprendían” o se “adaptaban evolutivamente” a las acciones reales de los otros jugadores. Si bien ésta es una respuesta sensata, creo que centrarse en el proceso particular a través del cual se alcanza el equilibrio no era una buena idea. Hacerlo, puede haber evitado que estos estudiosos alcanzaran una respuesta general a la pregunta de qué puede ser una solución para todos los juegos. Diferentes procesos equilibradores conducirán a soluciones diferentes, y a veces a ninguna solución en absoluto. Lo que hace único a Nash es que, de manera típica en un matemático, no se molestó con ejemplos al analizar el problema. Propuso un concepto de solución que se aplica a todos los juegos, y luego se demostró que existía un equilibrio en todos ellos. Y curiosamente luego resulta que es muy difícil encontrar procesos equilibradores dinámicos cuyos estados estacionarios (de equilibrio) no sean equilibrios de Nash.

Realmente la contribución es definir el equilibrio de Nash, porque demostrar su existencia es algo realmente trivial para un matemático profesional. Si denotamos la estrategia de un jugador como x(i), x(-i) al vector de estrategias del resto de jugadores, x al vector de todas las estrategias y a BR(x(-i)) al conjunto de respuestas óptimas para el jugador i a x(-i), un equilibrio de Nash es una situación en la que para todo jugador i se cumple que x(i)∈BR(x(-i)). O escrito de forma más compacta x∈BR(x). Visto de esta manera, cualquier matemático se dará cuenta de que un equilibrio de Nash no es más que un punto fijo de una correspondencia de respuesta óptima, y por tanto existe bajo condiciones relativamente poco exigentes sobre la correspondencia. A su vez, probar esas condiciones sobre la correspondencia de respuesta óptima requiere condiciones débiles sobre las funciones de pagos de los jugadores.

La segunda contribución de Nash, lo que a veces se llama el programa de Nash para los juegos cooperativos, supuso también un paso de gigante. Propuso una solución a un problema de división equitativa que parecía atractiva en un sentido abstracto y luego demostró que esta solución podía de hecho ser descentralizada, es decir, la solución era el resultado del equilibrio de un juego debidamente explicitado.

Nash (1950b) propone una solución axiomática para un problema de negociación, la conocida solución de negociación de Nash. En este problema de negociación las partes involucradas disponen de un conjunto de (pares de) utilidades posibles y tienen que llegar a un acuerdo en uno de los elementos de ese conjunto.

Los axiomas son bastante razonables: en primer lugar eficiencia en el sentido de Pareto, es decir la solución acordada tiene que ser tal que no existe un par de utilidades en las que los dos están al menos igual de bien y uno de los jugadores está estrictamente mejor; además la solución debe ser simétrica; y debe haber independencia de las alternativas irrelevantes. Esta solución todavía se utiliza por muchos economistas aplicados en todo el mundo para resolver problemas de negociación. Pero esto por sí mismo no merecería un lugar tan destacado en la historia de la ciencia. Hay otras soluciones axiomáticas que también tienen sentido para resolver problemas de negociación; la de Kalai-Smorodinski (1975) y otras (ver Roth 1979 para una resumen de muchas de ellas).

La contribución realmente fundamental de Nash en esta área fue proponer (y parcialmente resolver) la siguiente pregunta. Supongamos que un tercero está interesado en obtener el resultado propuesto por Nash (1951) y que no conoce las preferencias reales de los jugadores, sino sólo el conjunto de posibles acuerdos: ¿podría llegar a la solución deseada, proponiendo a las partes jugar a un juego, en el que este tercero sólo tiene que asegurarse de que los resultados finales son lo que el juego dicta para cada par de estrategias? Sólo plantear la pregunta es un logro fenomenal, ya que esto define un área de trabajo completa en la economía: la teoría y aplicaciones del diseño de mecanismos.

Nash dio una respuesta concreta a la pregunta de si existe ese juego cuyo equilibrio es la solución de negociación de Nash. En ese juego cada jugador anuncia simultáneamente una demanda (la utilidad que pide para ella misma): si ambas demandas son compatibles, en el sentido de que el par de utilidades pertenece al conjunto disponible, cada jugador obtiene lo que anunció; de lo contrario tanto nadie recibe nada. Como se puede comprender fácilmente, este juego tiene muchos equilibrios. Si un jugador espera que la demanda del otro sea una cantidad (arbitraria) factible, la demanda que hará será la máxima posible dada la del compañero (y viceversa). Pero Nash demostró que, con un grado “pequeño” de incertidumbre, el resultado estaría “cerca” de la solución deseada. Esto no es totalmente satisfactorio, y otras personas han dado mejores respuestas a este problema en particular. El juego de negociación con ofertas alternadas de Rubinstein (1982) es quizás el más conocido (Binmore 1987 fue quien primero señaló que el juego de Rubinstein implementaba la solución de negociación de Nash) aunque Howard (1992) es probablemente más exacto. Pero esto no empequeñece una propuesta que establece la agenda para un vasto programa de investigación que es todavía muy activo y ha conocido una gran variedad de aplicaciones de la vida real. Se puede decir que la notorias (ver McMillan 1994) subastas del espectro radioeléctrico que allanaron el camino para una gran cantidad de trabajo en “privatizaciones socialmente óptimas”, son la hijas intelectuales del artículo de Nash (1951).

Hay una contribución más (no intencional) de la obra de John Nash. Tengo la sensación de que los académicos hoy día escribimos demasiado, y pensamos demasiado poco. Como resultado, una parte sustancial de nuestro trabajo no es de verdadera importancia. Este resultado es probablemente un equilibrio del juego que jugamos, pero me parece que hay mejores resultados posibles. Nash demostró que uno sólo tiene que escribir unas cuantas páginas de un trabajo muy bueno para tener un impacto duradero en el mundo de la ciencia. Tal vez deberíamos pensar en un cambio de las reglas del juego académico, para que el (esperemos único) equilibrio de Nash produzca trabajo de calidad más alta.

Referencias

K.G. Binmore (1987), “Nash Bargaining Theory II”, pp. 61-76 in The Economics of Bargaining (K.G. Binmore and P. Dasgupta eds.), Oxford: Blackwell.
A.A. Cournot (1838), Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses. Paris: Hachette.
R.A. Fisher (1930), The Genetical Theory of Natural Selection. Oxford: Clarendon Press.
J.V. Howard (1992), “A Social Choice Rule and Its Implementation in Perfect Equilibrium”, Journal of Economic Theory 56, 142-159.
E. Kalai and M. Smorodinsky (1975), “Other Solutions to Nash's Bargaining Problem”, Econometrica 43, 513-518.
J. McMillan (1994), “Selling Spectrum Rights”, Journal of Economic Perspectives 8, 145-162.
J.F. Nash (1950a), “Equilibrium Points in N-person Games”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 36, 48-49.
J.F. Nash (1950b), “The Bargaining Problem”, Econometrica 18, 155-162.
J.F. Nash (1951), “Non-Cooperative Games”, Annals of Mathematics 54, 286-295.
A.E. Roth (1979), Axiomatic Models of Bargaining. Berlin: Springer Verlag. A. Rubinstein (1982), “Perfect Equilibrium in a Bargaining Model”, Econometrica 50, 97-109.
J. von Neumann (1928), “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”, Mathematische Annalen 100, 295-320