Aprovechando las fechas navideñas, y después de que la CUP haya vuelto a poner de moda la estadística, les propongo hoy un problema lógico (que Manuel Bagüés y algunos de ustedes sugirieron en los comentarios a una entrada anterior) que espero amenice sus cenas de fin de año, y desvíe un poco la discusión con sus cuñados sobre pactos post-electorales . Eso sí, no les aseguro que la cena no termine igualmente en bronca, puesto que aunque el problema tenga una única solución correcta, va a resultar muy difícil convencerles de ella. Lo que sí espero con la entrada es que aprendamos un poco sobre las razones que explican nuestros errores cognitivos y sobre el potencial de los experimentos para entender cómo corregirlos. Vamos con el problema, conocido también como la "paradoja de Monty Hall", en referencia al presentador del concurso americano "Let's Make a Deal" (aunque en España, el problema aparecía frecuentemente en el "1, 2, 3" de Mayra Gómez Kemp)
“Suponga que está en un concurso de televisión y debe elegir entre 3 puertas. Detrás de una de ellas hay un coche, mientras que detrás de las otras dos hay cabras. Usted elige una puerta, supongamos que la número 1, y el presentador, que sabe qué hay tras cada puerta, abre otra, por ejemplo la número 3, mostrando una cabra. Entonces les dice: "¿Quiere cambiar a la puerta número 2?"."
La pregunta es, por tanto, si le interesa cambiar de puerta o no. Piénselo un momento, y no se precipite a leer el resto de la entrada o a mirar el diagrama que le muestro más abajo, pues podría condicionar su respuesta. Quítese presión sabiendo que menos del 15% de los individuos dan la respuesta correcta y que, cuando se ha intentado explicar en la prensa americana, la misma explicación generó una enorme polémica que incluyó miles de cartas de protesta, entre ellas, de doctores en estadística e investigadores del Ministerio de Defensa. Ahora ya, sin presión, ¿Cambiamos de puerta?
La gran mayoría de la gente argumenta que una vez el presentador abre una de las puertas con una cabra, cada una de las restantes dos puertas tiene una probabilidad del 50% de tener detrás el coche, por lo que no debería importar si uno cambia o no de puerta. Sin embargo, el hecho de que el presentador abra una puerta que esconde una cabra, añade información útil para usted, que debería llevarle a cambiar de puerta. ¿Por qué? Porque qué puerta abre el presentador depende de dónde está realmente el coche y cuál ha sido la puerta inicialmente escogida por usted. Es decir, el hecho de que el presentador, en el ejemplo, abra la puerta número 3 no es casual: se debe a que usted ha elegido la número 1 y que detrás de la número 3 no hay un coche (si en la puerta 3 hubiera habido un coche, el presentador habría abierto la número 2). Por ello, cambiar de puerta incrementa su probabilidad de ganar el coche de 1/3 a 2/3.
¿Le convence mi explicación? Antes de que me inunden con comentarios (que, por supuesto, contestaré encantado), veamos un diagrama sencillo (aunque en inglés) que ilustra bien por qué al cambiar de puerta ganaría usted el coche en 2 de los 3 posibles casos en que las cabras ("goat") y el coche ("car") pueden estar colocados.
Si el diagrama es tan sencillo de entender, ¿Por qué entonces la gran mayoría de la gente decide no cambiar de puerta? ¿Por qué aún muchos de ustedes siguen dándole vueltas y no terminan de estar convencidos? Existe abundante investigación en Psicología que ha intentado contestar a estas preguntas. Hay tres explicaciones complementarias que puedan explicar nuestro error. En un primer nivel, mucha gente puede tender a pensar que por qué deben cambiar de puerta si hacerlo no aumenta la probabilidad de ganar el coche. Como hemos visto, este razonamiento, si se quiere de "ahorro" en la toma de nuevas decisiones, parte de la premisa errónea de que la probabilidad de ganar el coche no varía al cambiar de puerta. ¿Pero por qué no nos damos cuenta? Como ya comentamos al hablar de Gigerenzer, el pensar el problema en términos de probabilidades y no de frecuencias naturales, de casos (como hace el diagrama), nos dificulta la comprensión. El modelo mental que nos formamos tiende a ser más complejo que los 3 casos del diagrama. Además, es posible que tengamos una preferencia por ser consistentes con nuestras decisiones y pensemos que si inicialmente preferimos la puerta 1 a la 2...¿por que cambiar nuestra preferencia cuando desaparece la opción dela puerta 3, que no habíamos considerado?
Puede existir además un problema adicional de orgullo. En un artículo de Granberg y Brown (1995), se muestra que un alto porcentaje de participantes en un experimento justifican no cambiar de puerta porque se sentirían peor cambiando de puerta si el coche estuviera tras su puerta inicialmente escogida, que quedándose con una puerta en la que ya estuviera la cabra. Esta explicación, al ser autojustifcada es menos concluyente, por poder ser una excusa, de lo que un experimento controlado nos enseñaría. No obstante, es consistente con la "teoría prospectiva" de Kahneman y Tversky, según la cuál nos importan más las pérdidas, aunque sean potenciales, que las ganancias.
Por último, en la misma presentación del problema, hay información inútil que puede despistarnos. El que nos den el ejemplo de que "el presentador abre la puerta número 3", si bien puede ayudarnos a entender el problema, puede también fijar la idea de que se abre la puerta número 3, no porque seguro que no tiene el coche (y por ello abrir la 3 y no la 2 es condicional a que la 3 que no esconde el coche), sino porque es la 3 la que se abre y ya está. En este sentido, pensar el problema desde el punto de vista del presentador que tiene que abrir una puerta después de que nosotros hayamos escogido otra, nos podría ayudar a entender que nunca abriría la puerta que tiene el coche detrás y, con ello, que nos esta dando información habitual al hacerlo.
Afortunadamente, un experimento controlado nos puede ayudar a discernir entre todas estas posibles explicaciones o, más bien, indicarnos que todas ellas contribuyen a dificultar la correcta resolución del problema para la mayoría de las personas. ¿Cómo se haría dicho experimento? Eligiendo distintos grupos de personas asignados de forma aleatoria a distintas formas de presentar el problema. Comparando la proporción de respuestas correctas ante distintas presentaciones del problema entenderíamos qué elementos de la presentación facilitan o dificultan la pregunta.
Pero, ¿Cuáles deberían ser nuestras diferentes presentaciones, es decir, los diferentes "tratamientos experimentales"? En este capítulo de una tesis de la Universidad de Berlin se discuten algunos de ellos. Por ejemplo, para ver si el razonar en términos de frecuencias naturales, en vez de en probabilidades, es importante, se podría cambiar la pregunta del problema a "¿en cuantas de las 3 posibles posiciones de los premios le convendría cambiar?". O, para que se formara directamente una imagen mental correcta, le podría mostrar, sin explicación, el diagrama de arriba. También podría presentar el problema sin dar ejemplos concretos ("la puerta número 3..."), para ver hasta qué punto esta información "inútil" despista. Por último, podría instar a los sujetos del experimento a, directamente, ponerse en la piel del presentador a la hora de elegir que puerta mostrar al concursante, lo que podría facilitar el que pensara que la decisión del presentador es condicional y, por ello, estratégica.
El hecho de que dichas manipulaciones funcionen o no es importante porque nos iluminaría sobre cuál es la mejor forma de presentar la información, económica, financiera o de otro tipo, para que los individuos tomen decisiones correctas. Pues bien, les confieso que todas estas manipulaciones experimentales funcionan sólo parcialmente elevando la proporción de individuos que contestan correctamente. Pero no resuelven plenamente el problema. Incluso en un tratamiento que combina todas las manipulaciones, sólo consiguen incrementar el porcentaje de respuestas correctas al 60%. Por tanto, espero que tengan una entrañable discusión navideña con al menos el 40% de sus familiares. !Feliz Año!
PD: Continuando con mi afición cinéfila, y mi cruzada contra las malas explicaciones científicas en las películas americanas, les dejo con el intento de Kevin Spacey en""21, Black Jack" (película entretenida sobre póquer, estadística y profesores poco éticos de la que quizá hablemos otro día).
Hay 44 comentarios
La solución funciona si el presentador siempre abre una puerta después de que el concursante haya elegido. Si el presentador tiene opción de decidir si abre una puerta o no (es decir, si ofrece al jugador cambiar o no), entonces tal vez sea mejor quedarse con lo que uno había elegido... o no, todo dependerá de la estrategia del presentador, que el concursante desconoce.
Gracias, Hauranakh. Dese cuenta que la opción de cambiar de puerta sólo se ofrece después de que el presentador haya abierto una puerta que esconde una cabra. Por tanto, una vez se encuentra usted en dicho subjuego, su mejor repuesta es cambiar de puerta, independientemente de la estrategia del presentador en otros programas anteriores.
No tiene por qué ser independiente de los programas anteriores. Si la estrategia observada en pasado es que el presentador abre una de las otras dos puertas solo cuando el concursante ha elegido la que tiene el coche entonces no conviene cambiar.
Si sabemos que en este programa el presentador se compromete a (i) abrir siempre una puerta y (ii) a abrir una en la que no esté el coche, entonces sí hay que cambiar. Este es el supuesto que debe darse y que no siempre se hacen explícitas las dos condiciones.
Gracias, José Luis. Es cierto que el enunciado del problema puede dar lugar a distintas interpretaciones. Sin embargo, está claro que el presentador cuando abre una puerta siempre abre una con cabra (si no, obviamente la pregunta de si uno quiere cambiar no tiene sentido). Además, si uno observa que en el pasado siempre te ofrecen la posibilidad de cambiar si has elegido la puerta correcta, entonces es obvio que no hay que cambiar, y precisamente por ello, observando algunos programas anteriores que he podido encontrar he comprobado que la opción de cambiar se ofrecía siempre, independientemente de lo elegido por el concursante.
Yo también pienso así... No sé, si el presentador tiene la opción de abrir o no abrir la puerta parece razonable pensar que (para ahorrarle un dinerito al programa) sólo abrirá la puerta extra con la cabra cuando el concursante haya elegido por azar la puerta con el coche, con idea de hacerle dudar y que pierda el premio. En otro caso, no le dará la opción de cambiar de puerta o, si quiera jugar un poco, lo hará pero sin abrir otra extra. Creo que no esto no sería sólo mera matemática, sino que importa la información que previamente maneja el presentador. Un poco como en esos posts de penaltis tan interesantes que se publicaron hace tiempo en el blog
Gracias, David. Creo que mi respuesta anterior contesta a su comentario. De todas formas, dese cuenta que lo que usted argumenta es una justificación de por qué es conveniente cambiar de puerta (no lo contrario). Por lo que dice, creo que le puede interesar estudiar un poco de teoría de juegos. Para empezar, puede encontrar una de las entradas sobre penaltis aquí: https://nadaesgratis.es/cabrales/por-que-holanda-perdio-la-semifinal-en-los-penaltis-contra-argentina-la-desventaja-de-que-tu-rival-conozca-la-estrategia-de-tu-estratega
Recuerdo haber tenido que hacer una simulación de Montecarlo para que un colega reticente aceptara la solución correcta. Hablo de personas haciendo un doctorado en Físicas. Incluso en ciencias, la formación en estadística y probabilidad es escasa.
Gracias, Hare. No creo que el problema esté sólo en la falta de formación, sino en que algunos temas "básicos" de estadística son realmente poco intuitivos y no hemos dado aún con la forma de presentarlos más clara. En todo caso, lo interesante es, a partir de estos "errores", entender cómo razonan y entienden los individuos.
No veo que Feynman diga nada en contra de hacer simulaciones. En este caso no es más que simular casos y calcular frecuencias.
Muchas gracias, Pedro, por tan esclarecedor artículo. En casa nos pasamos, hace unos días, toda una cena discutiendo el tema a raíz de esa película, que la dieron esa misma tarde. Nos pasamos media cena probando empíricamente el juego. El resultado no fue, supongo que por falta de iteraciones, tan claro y me quedé con las dudas. Ahora puedo decir que, viendo el diagrama, lo entiendo perfectamente. Mi error era pensar que, una vez el presentador abre la puerta con la cabra, me quedan dos puertas donde escoger, por tanto tengo un 50% de probabilidades de acertar el coche.
Me alegro de que la sangre no llegara al río. Espero que la próxima cena, con la solución en la mano, sea igualmente amena 😉
Hola. Gracias por la entrada. Es un caso intrigante.¿Hay datos sistemáticos sobre el comportamiento de los concursantes y sus resultados ?
Gracias, Diego. He buscado datos tanto del programa americano como de otras versiones, pero no los he encontrado. Lo que sí existen es datos de múltiples experimentos hechos en laboratorio, obviamente con premios más pequeños, donde lo que se observa es lo que cuento en la entrada: alrededor de un 15% de gente cambia de puerta y sólo se consigue elevar el porcentaje hasta el 60% tras fuertes manipulaciones.
He visto la película varias veces y esta parte siempre me había llevado a una reflexión. Incluso con el post y el diagrama sigo sin ver clara la cuestión pues entiendo que está conformado "a priori" y que tal y como y se presenta el cambio, "arrangement 1" queda descartada pues el presentador demuestra abriendo la puerta que no es la situación existente. ¿No quedan por ello dos posibles escenarios de igual probabilidad? Veo que la probabilidad se deriva del número de escenarios y no de puertas, pero ahora pasan a ser dos y no tres. Un saludo y feliz 2016.
Gracias, Antonio. No entiendo por qué dice que el "arrangement 1" queda "descartado" y que "el presentador demuestra abriendo la puerta que no es la situación existente". Hay 3 posibles escenarios (el coche localizado en cada una de las 3 posiciones) y en 2 de ellos le viene bien cambiar, por lo que debe hacerlo. Un saludo y feliz año.
En la presentación del problema dice que "y el presentador, que sabe qué hay tras cada puerta, abre otra, por ejemplo la número 3, mostrando una cabra. Entonces les dice: " entiendo que la situación 1 no es posible. A eso me refiero. Gracias por su paciencia. A este ritmo el cuñado me gana la partida, jajajaja.
Como explico en la entrada, el ejemplo de que el presentador abre la puerta 3 es precisamente un caso de información inútil que le despista y le hace pensar que los escenarios posibles son 2, cuando realmente son 3 (el ejemplo es sólo un ejemplo). No se preocupe, que !el cuñado está vencido! 🙂
Mi teoria es que no es lo mismo 123€ que 321€. No es lo mismo poner la cabra1 en la primera puerta que poner la cabra2. Esto nos llevaría a que el diagrama es erroneo puesto que ya no habría 3 opciones, habría 6. Pero en el caso de no haber escogido la puerta del coche, el Monty Hall no puede abrirnos la puerta del coche, por lo que solo le queda una opción en ese caso. Graficamente yo lo explicaría con el siguiente diagrama:
1-Coche
2-Cabra1
3-Cabra2
P1 P2 P3
1 2 3 Opción1
1 3 2 Opción2
2 1 3 Opción3
2 3 1 Opción4
3 1 2 Opción5
3 2 1 Opción6
Ejemplo eligiendo P1
O1- si MH abre P2 yo mantengo
O1- si MH abre P3 yo mantengo
O2- si MH abre P2 yo mantengo
O2- si MH abre P3 yo mantengo
O3- MH no puede abrir P2
O3- si MH abre P3 yo cambio
O4- si MH abre P2 yo cambio
O4- MH no puede abrir P3
O5- MH no puede abrir P2
O5- si MH abre P3 yo cambio
O6- si MH abre P2 yo cambio
O6- MH no puede abrir P3
Con esta teoría me sale Mantener en 4 y Cambiar en otras 4 situaciones por lo que las probabilidades me quedan al 50%.
No sé si entro en el grupo de los inútiles o he encontrado una solución. Me parece raro que nadie lo haya propuesto antes por lo que es posible que esté equivocado.
Un saludo y gracias por el post.
Gracias, Íñigo. Ni ha encontrado una nueva teoría (es una forma de pensar en este problema bastante habitual) ni creo que sea "del grupo de los inútiles". En términos del resultado que le importa, que es la probailidad de encontrar el coche, sólo hay 3 opciones (las 2 cabras son "iguales") y lo que hace el presentador es abrir siempre una puerta con cabra (le da igual si es la cabra 1 o la cabra 2).
Efectivamente, en este caso para encontrar el coche, las cabras son iguales. Al final es tan sencillo como decir que manteniendo ganas si eliges desde un principio el coche (33%) y eligiendo cambiar ganas si en un principio eliges cualquiera de las dos cabras, ya que luego te cambiarás al coche (66%). Muy buen problema.
¿Se confirma que al "grupo de los inútiles" pertenecía un tal Paul Erdos?
Obligatorio el video de Numberphile acerca de la paradoja de Monty Hall (en inglés):
https://www.youtube.com/watch?v=4Lb-6rxZxx0
y
https://www.youtube.com/watch?v=7u6kFlWZOWg
!Muchas gracias por los enlaces!
Lo más interesante de este post no es la paradoja de Monty Hall, que es un ejemplo de libro para explicar probabilidades condicionales y por tanto está más que requetexplicado, sino que haya tantas respuestas intentando demostrar que mantenerse en la puerta 1 es la decisión correcta (o al menos tan correcta como cambiar a la puerta dos) Un bonito caso para behavioural economics...
Disclaimer: la primera vez que vi el ejemplo en un curso de probabilidades yo también me quedé con la primera puerta. Y si algún día me veo en esa situación en el 1,2,3 (caso harto improbable) lo mismo me mantengo en la primera puerta por los nervios 😉
Gracias. Curiosamente, resulta que Kiko Llaneras de Politikon lanz'o el problema en su twitter el dia anterior a esta entrada (sin que yo lo supiera) y tuvo m'as de 1200 respuestas (alrededor del 60% equivocadas, a pesar de que muchos mirarían la solución en internet), por lo que parece interesante seguir investigando sobre ella. Como supongo que sabe, mi area de investigación es la economía del comportamiento, así que encantado de seguir estudiando por qu'e ejemplos como 'este nos resultan tan poco intuitivos.
El apasionante problema de Monty Hall... No tengo papers en inglés, pero sí una hipótesis alternativa -basada en "evidencia anecdótica"- para explicar el carácter contraintuitivo de la solución correcta.
Es obviamente verdad que abrir una puerta no modifica lo que hay tras las otras dos. Por tanto, ¿para qué modificar nuestra decisión inicial? Pero claro, abrir la puerta no modifica lo que hay tras las otras... pero sí modifica (DE FORMA INDIRECTA) el conocimiento que el sujeto tiene de ello, y por tanto puede influir en nuestra decisión. Ni la "prospect theory", ni el "mantenella y no enmendalla" tienen nada que ver con esta falacia, creo yo.
Y una pequeña maldad, profesor Rey: recordemos a los lectores que la solución correcta fue presentada por Marilyn vos Savant en el NY Times y que recibió las indignadas respuestas de los legos... y de los sabios: "Many of vos Savant’s disbelievers had Ph.D.s and worked in the field of statistics", se puede leer en la tesis que se referencia en el post.
El problema del orgullo se resuelve si el concursante, en lugar de elegir la puerta en la que cree que está el coche, elige una puerta en la que cree que no está el coche....el amable presentador abrirá la "otra" puerta donde tampoco está....
Curiosa respuesta. El problema es que si el presentador sabe que uno ha elegido para fallar y, por ello, siempre va a cambiar de puerta, igual no te ofrecen la opción de cambiar cuando has fallado.
¿Cómo se elige "para fallar"? ... por curiosidad. Y ¿Cómo se nota que se ha elegido "para fallar"?
¡Cielos! ¿No habíamos quedado en que el presentador siempre abre una puerta que esconde una cabra? Si cambian las reglas, entonces puede cambiar la estrategia óptima del concursante...
Para mí hay cuatro escenarios posibles, no tres: si el coche está en la puerta 1, el presentador puede abrir la 2 ó la 3, que son dos puertas distintas aunque las dos tengan cabras. Que dos casos nos den el mismo resultado no significa que tengamos que tratarlos como un solo caso, porque entonces estamos haciendo trampa en la estadística y ponderando unos casos por encima de otros. Por tanto, nos quedan 4 casos: en dos se gana y en dos se pierde. Según esto, la probabilidad de ganar quedándonos en nuestra puerta inicial sería el 50%. Y la información adicional dada por el presentador al abrir una de las puertas hace que nuestras probabilidades de ganar pasen del 33% al 50%.
Si queremos simplificar el caso 3 y el 4, como en el gráfico presentado, habría que simplificar también los dos primeros diciendo que el presentador abre una puerta en la que hay cabra (da igual cuál sea, pero es la que tiene la cabra) y no la otra.
Al menos, así lo veo yo.
Gracias, Javier. Como ha dicho otro participante, el presentador 1) siempre abre una puerta y 2) la puerta que abre siempre esconde una cabra. Si no quiere tartar a las dos cabras por igual, puede representar la situación con 6 escenarios correspondientes a las posibles localizaciones de *coche, cabra 1, cabra 2). En todo caso, en cuatro de esos escenarios (probabilidad 2/3) le conviene cambiar de puerta.
Es absurdo, en esos programas seguro que hay tongo para que te toque la cabra.
Obviamente, he escrito la entrada pensando en el problema l'ogico, y como he dicho, no tengo datos de concursos reales (apenas algún video que he encontrado, en los que por cierto, ganaban el coche con bastante frecuencia). Trabajando en otros artículos de investigación en los que he contactado con productoras de concursos televisivos, s'i le puedo decir que mi impresión es que las reglas son m'as serias de lo que usted sugiere. Aunque por supuesto ha habido casos de fraude. El m'as famoso, se contaba en la película "Quiz Show" de Robert Redford: https://www.youtube.com/watch?v=oOSnYt9k4kM
Le expuse el problema a mis hijos en la comida. El mayor (19 años, y muy buena cabeza para las mates) halló la respuesta rápido. Pero mejor fue lo bien que nos lo explicó: si tienes 3 opciones, al elegir una puerta, sea cual sea, las probabilidades de acertar son del 33,33%. O sea, lo más probable (66,66%) es que el coche esté en cualquiera de las otras dos puertas. Si resulta que ya nos dicen cuál puerta tiene la cabra, y cambiamos nuestra elección, las probabilidades de llevarnos el coche son entonces ¡del 66,66%!
Después, como somos un poco cuñados, nos hizo el diagrama de más arriba...
Gracias por el rato de diversión, Pedro.
!Para eso estamos! 😉
No sé donde leí una solución bastante clara incluso para los más escépticos: si en vez de 3 puertas fuesen 1000 puertas (999 cabras) y el presentador, después de elegir tú, te abriese 998 puertas con cabras... ¿ seguiría alguien manteniendo su primera elección ?
Creo que así es diáfano.
Feliz 16.
Una vez intenté explicarle la paradoja a un amigo con alto IQ pero sin título académico. Después de muchos intentos infructuosos, conseguí que la idea hiciese "click" generalizando el problema: supón que hay N+1 puertas, eliges una, y el presentador abre N-1 de las otras N puertas, detrás de las cuales hay cabras. Así que solo quedan dos puertas, la que has elegido tú y la que ha dejado el presentador de entre las otras N. ¿Cambias de puerta? Con N=2 (el ejemplo original) la intuición falla. Con N=3 ó 4 la gente se para a pensar. Con N=1000000 la intuición da la vuelta (al menos en mi experiencia).
Este tipo de errores puede tener consecuencias bastante serias, por ejemplo hubo toda una serie de experimentos en psicología que usó un paradigma incorrecto relacionado con la paradoja de Monty Hall y acabó saltando a la prensa (And Behind Door Nr. 1, a Fatal Flaw - artículo antigo del NYTimes). Una lástima que el chaval que detectó el error luego publicase un artículo lleno de errores matemáticos sobre paradigmas relacionados en la conocida JPSP, pero eso es otra historia.
El diagrama tiene truco: el arrangement 3 no es uno, son dos. El 3a, en el que el presentador abre la puerta 2, y el 3b, en el que muestra la cabra de la puerta 3. Así, los escenarios posibles son 4 y las posibilidades de acertar cambiando (2/4) las mismas que las de acertar manteniéndose (2/4).
Decir que, una vez mostrada la cabra de, por ejemplo, la puerta 3, las opciones de acertar son mayores cambiando que manteniéndose, es como decir que en un nuevo juego de elección aleatoria entre las puertas 1 y 2 (que es en lo que se convierte el juego en última instancia), las probabilidades son mayores eligiéndo una que eligiendo la otra.
Yo he logrado entenderlo haciendo un experimento simulado:
1000 personas eligen cambiar de puerta. El 50% acierta, como es lógico.
1000 personas eligen quedarse con su primera elección. El 33% acierta, ya que tenían 1 puerta entre 3.
El error cognitivo no es llegar a la conclusión de que cambiar tiene un 50% de posibilidades de acierto, que es correcto, sino ignorar que nuestra decisión previa tenía un 67% de estar equivocada y que es mejor volver a elegir puerta.
Aquí va mi explicación (espero sirva de ayuda):
Planteemos los siguientes escenarios:
Escenario A: Inicialmente has elegido coche (prob. 1/3). A continuación el presentador descubre una de las cabras.
Elección A.1: Cambias --> pierdes
Elección A.2: No cambias ---> ganas.
Escenario B: Inicialmente has elegido cabra (prob. 2/3). A continuación el presentador descubre una cabra (la otra diferente a la elegida).
Elección B.1: Cambias ---> ganas
Elección B.2: No cambias ---> pierdes.
La estrategia "cambiar" resulta ganadora en el caso B.1, que tiene una probabilidad 2/3 de producirse, y perdedora en A.1, que tiene una probabilidad 1/3.
Por el contrario, la estrategia "no cambiar" resulta ganadora en A.2, que tiene una probabilidad 1/3 de ser el escenario real, y perdedora en B.2, que tiene una probabilidad 2/3.
En resumen: cambiar ---> 66.7% de probabilidad de éxito; no cambiar ---> 33.3 % de éxitos.
Posdata a mi comentario anterior: estoy dando por supuesto que un coche es mejor (o tiene mayor utilidad) que una cabra, jeje
Hace un tiempo sugerí aquí la lectura de un libro de David Deutsch: "The Beginning of Infinity", que me parece una pequeña obra maestra.
Este físico una vez dio la que para mí es la mejor explicación del problema de Monty Hall:
"Consider a different problem first: you're faced with the same three boxes but now you can choose any one box OR any two boxes, and in the latter case receive the better of the two contents. It's always better to choose two boxes, right? But the rules of the original game allow you to choose two! Here's how. First point to the remaining box i.e. the one you're not going to choose. Then Monty will open the worse of the two boxes you chose, and you take the better one."
Cuando recomiendo algo no lo hago a la ligera...
El problema lo presenta de forma bastante didáctica la serie Numbers en un episodio. El video adjunto se puede emplear en clase. A los alumnos les llama mucho la atención ver cómo una ser de TV que conocen les ayuda a entender un problema de estadística:
https://www.youtube.com/watch?v=P9WFKmLK0dc
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