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Pasatiempo de Fin de Año: El Problema de las 3 puertas

montyhall pictureAprovechando las fechas navideñas, y después de que la CUP haya vuelto a poner de moda la estadística, les propongo hoy un problema lógico (que Manuel Bagüés y algunos de ustedes sugirieron en los comentarios a una entrada anterior) que espero amenice sus cenas de fin de año, y desvíe un poco la discusión con sus cuñados sobre pactos post-electorales . Eso sí, no les aseguro que la cena no termine igualmente en bronca, puesto que aunque el problema tenga una única solución correcta, va a resultar muy difícil convencerles de ella. Lo que sí espero con la entrada es que aprendamos un poco sobre las razones que explican nuestros errores cognitivos y sobre el potencial de los experimentos para entender cómo corregirlos. Vamos con el problema, conocido también como la "paradoja de Monty Hall", en referencia al presentador del concurso americano "Let's Make a Deal" (aunque en España, el problema aparecía frecuentemente en el "1, 2, 3" de Mayra Gómez Kemp)

“Suponga que está en un concurso de televisión y debe elegir entre 3 puertas. Detrás de una de ellas hay un coche, mientras que detrás de las otras dos hay cabras. Usted elige una puerta, supongamos que la número 1, y el presentador, que sabe qué hay tras cada puerta, abre otra, por ejemplo la número 3, mostrando una cabra. Entonces les dice: "¿Quiere cambiar a la puerta número 2?"."

La  pregunta es, por tanto, si le interesa cambiar de puerta o no.  Piénselo un momento, y no se precipite a leer el resto de la entrada o a mirar el diagrama que le muestro más abajo, pues podría condicionar su respuesta. Quítese presión sabiendo que menos del 15% de los individuos dan la respuesta correcta  y que, cuando se ha intentado explicar en la prensa americana, la misma explicación generó una enorme polémica que incluyó miles de cartas de protesta, entre ellas, de doctores en estadística e investigadores del Ministerio de Defensa. Ahora ya, sin presión,  ¿Cambiamos de puerta?

La gran mayoría de la gente argumenta que una vez el presentador abre una de las puertas con una cabra, cada una de las restantes dos puertas tiene una probabilidad del 50% de tener detrás el coche, por lo que no debería importar si uno cambia o no de puerta. Sin embargo, el hecho de que el presentador abra una puerta que esconde una cabra, añade información útil para usted, que debería llevarle a cambiar de puerta. ¿Por qué? Porque qué puerta abre el presentador depende de dónde está realmente el coche y cuál ha sido la puerta inicialmente escogida por usted. Es decir, el hecho de que el presentador, en el ejemplo, abra la puerta número 3 no es casual: se debe a que usted ha elegido la número 1 y que detrás de la número 3 no hay un coche (si en la puerta 3 hubiera habido un coche, el presentador habría abierto la número 2).  Por ello, cambiar de puerta incrementa su probabilidad de ganar el coche de 1/3 a 2/3.

¿Le convence mi explicación? Antes de que me inunden con comentarios (que, por supuesto, contestaré encantado), veamos un diagrama sencillo (aunque en inglés) que ilustra bien por qué al cambiar de puerta ganaría usted el coche en 2 de los 3 posibles casos en que las cabras ("goat") y el coche ("car") pueden estar colocados.

montyhall solutionSi el diagrama es tan sencillo de entender, ¿Por qué entonces la gran mayoría de la gente decide no cambiar de puerta? ¿Por qué aún muchos de ustedes siguen dándole vueltas y no terminan de estar convencidos? Existe abundante investigación en Psicología que ha intentado contestar a estas preguntas. Hay tres explicaciones complementarias que puedan explicar nuestro error. En un primer nivel, mucha gente puede tender a pensar  que por qué deben cambiar de puerta si hacerlo no aumenta la probabilidad de ganar el coche. Como hemos visto, este razonamiento, si se quiere de "ahorro" en la toma de nuevas decisiones, parte de la premisa errónea de que la probabilidad de ganar el coche no varía al cambiar de puerta. ¿Pero por qué no nos damos cuenta? Como ya comentamos al hablar de Gigerenzer, el pensar el problema en términos de probabilidades y no de frecuencias naturales, de casos (como hace el diagrama), nos dificulta la comprensión. El modelo mental que nos formamos tiende a ser más complejo que los 3 casos del diagrama. Además, es posible que tengamos una preferencia por ser consistentes con nuestras decisiones  y pensemos que si inicialmente preferimos la puerta 1 a la 2...¿por que cambiar nuestra preferencia cuando desaparece la opción dela puerta 3, que no habíamos considerado?

Puede existir además un problema adicional de orgullo. En un artículo de Granberg y Brown (1995), se muestra que un alto porcentaje de participantes en un experimento justifican no cambiar de puerta porque se sentirían peor cambiando de puerta si el coche estuviera tras su puerta inicialmente escogida, que quedándose con una puerta en la que ya estuviera la cabra. Esta explicación, al ser autojustifcada es menos concluyente, por poder ser una excusa, de lo que un experimento controlado nos enseñaría. No obstante, es consistente con la "teoría prospectiva" de Kahneman y Tversky, según la cuál nos importan más las pérdidas, aunque sean potenciales, que las ganancias.

Por último, en la misma presentación del problema, hay información inútil que puede despistarnos. El que nos den el ejemplo de que "el presentador abre la puerta número 3", si bien puede ayudarnos a entender el problema, puede también fijar la idea de que se abre la puerta número 3, no porque seguro que no tiene el coche (y por ello abrir la 3 y no la 2 es condicional a que la 3 que no esconde el coche), sino porque es la 3 la que se abre y ya está. En este sentido, pensar el problema desde el punto de vista del presentador que tiene que abrir una puerta después de que nosotros hayamos escogido otra, nos podría ayudar a entender que nunca abriría la puerta que tiene el coche detrás y, con ello, que nos esta dando información habitual al hacerlo.

Afortunadamente, un experimento controlado nos puede ayudar a discernir entre todas estas posibles explicaciones o, más bien, indicarnos que todas ellas contribuyen a dificultar la correcta resolución del problema para la mayoría de las personas. ¿Cómo se haría dicho experimento? Eligiendo distintos grupos de personas asignados de forma aleatoria a distintas formas de presentar el problema. Comparando la proporción de respuestas correctas ante distintas presentaciones del problema entenderíamos qué elementos de la presentación facilitan o dificultan la pregunta.

Pero, ¿Cuáles deberían ser nuestras diferentes presentaciones, es decir, los diferentes "tratamientos experimentales"? En este capítulo de una tesis de la Universidad de Berlin se discuten algunos de ellos. Por ejemplo, para ver si el razonar en términos de frecuencias naturales, en vez de en probabilidades, es importante, se podría cambiar la pregunta del problema a "¿en cuantas de las 3 posibles posiciones de los premios le convendría cambiar?".  O, para que se formara directamente una imagen mental correcta, le podría mostrar, sin explicación, el diagrama de arriba. También podría presentar el problema sin dar ejemplos concretos ("la puerta número 3..."), para ver hasta qué punto esta información "inútil" despista. Por último, podría instar a los sujetos del experimento a, directamente, ponerse en la piel del presentador a la hora de elegir que puerta mostrar al concursante, lo que podría facilitar el que pensara que la decisión del presentador es condicional y, por ello, estratégica.

El hecho de que dichas manipulaciones funcionen o no es importante porque nos iluminaría sobre cuál es la mejor forma de presentar la información, económica, financiera o de otro tipo, para que los individuos tomen decisiones correctas. Pues bien, les confieso que todas estas manipulaciones experimentales funcionan sólo parcialmente  elevando la proporción de individuos que contestan correctamente. Pero no resuelven plenamente el problema. Incluso en un tratamiento que combina todas las manipulaciones, sólo consiguen incrementar el porcentaje de respuestas correctas al 60%. Por tanto, espero que tengan una entrañable discusión navideña con al menos el 40% de sus familiares. !Feliz Año!

PD: Continuando con mi afición cinéfila, y mi cruzada contra las malas explicaciones científicas en las películas americanas, les dejo con el intento de Kevin Spacey en""21, Black Jack" (película entretenida sobre póquer, estadística y profesores poco éticos de la que quizá hablemos otro día).