Economía y matemáticas (III). De cómo Shizuo Kakutani salvó a Adam Smith*

Un estudiante alto y atlético esperaba nervioso a la puerta del despacho de -nada más y nada menos- uno de los grandes genios del siglo XX, John von Neumann. En su mano llevaba unas hojas que podían significar un cambio radical en el estudio de la economía y en su carrera. El paseo de unos treinta minutos entre la universidad de Princeton y el Instituto de Estudios Avanzados se le había hecho muy corto[1]. Solo había salido de su ensimismamiento cuando pasó por delante de la casa de Einstein. La visión de los magníficos campos de golf que tanto solía gustarle no le entretuvo ni medio minuto. Se estaba jugando su futuro (y el de la microeconomía). Y aquí conviene pausar el relato.

La microeconomía en 1949

Por no andar con rodeos, la microeconomía en 1949 era un fracaso. Aparte del modelo de oferta y demanda en un solo mercado poco se había avanzado en temas cruciales como:

● El equilibrio de varios mercados. El bueno de Walras había llenado un libraco muy gordo con ecuaciones y ecuaciones, pero poco se sabía de si tales ecuaciones tenían una solución, o sea de si el modelo era mínimamente consistente y mucho menos de las propiedades de tales ecuaciones.

● Situaciones estratégicas en las que las acciones de los agentes se influyen mutuamente. El llamado "problema del oligopolio" era un fantasma con el que se asustaba convincentemente a cualquiera que se atreviera a asomarse a ese campo.

● Como consecuencia de lo anterior nuestro conocimiento de áreas importantes como el oligopolio, el riesgo y la incertidumbre, los conflictos, la información asimétrica, la negociación, los impuestos óptimos, los contratos, las votaciones, etc. era rudimentario por decir algo.

● No había conexión con las otras ciencias sociales. La historia, la ciencia política, la psicología y la sociología eran icebergs lejanos y aparentemente inaccesibles.

Estos temas, así como los esfuerzos en los últimos 70 años para rellenar esos socavones de nuestro conocimiento ya los he tratado en una entrada anterior  a la que remito al lector para una primera visión de la economía moderna. Lo remarco para que ningún alma crítica, cándida y bienpensante tenga la ocurrencia de identificar la economía de hoy con la llamada "economía neoclásica". Y retomamos el hilo anterior.

John Forbes Nash llama a la puerta

Nuestro nervioso estudiante por fin encuentra valor para golpear suavemente la puerta del despacho del gran genio. Unos angustiosos segundos de espera y la voz esperada le da permiso.[2] Allí delante hay un hombre pequeño de aspecto vulgar con chaqueta y corbata que parece estar domando algo, con un lápiz como batuta, que se intenta escapar de sus papeles. Le indica con un movimiento de la mano que tome asiento. Y cambiando de actividad, ahora parece buscar algo en uno de los cajones de su mesa, le insta a hablar. Nash comienza a contarle su cosita dejando bien claro que se trata de una extensión de un trabajo del genio de hace 21 años. El genio, sigue que te sigue buscando algo que se le resiste, asiente dando a entender que una (pequeña) parte de su cerebro ha localizado este tema: el equilibrio de un juego de dos personas y de suma cero, un resultado mono, pero, dados sus supuestos, casi irrelevante. Nash lanza la bomba. "Tengo una generalización de ese resultado para cualquier número de jugadores y juegos de suma arbitraria". El genio continúa como si nada. Y Nash empieza la parte más técnica de su contribución (ver acá). Entonces von Neumann masculla suavemente. "Ah claro es un punto fijo". Nash asiente, le da las gracias al genio y sale de su despacho visiblemente conmocionado. Un año más tarde su trabajo se publica en los Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, una muy prestigiosa revista. Aún es un estudiante de doctorado. Unos años más tarde Arrow, Debreu y McKenzie (entre otros) basándose en el resultado de Nash consiguen probar la existencia del equilibrio perfectamente competitivo. Así en cinco años se desatascan temas -los puntos 1 y 2 de la lista anterior- que llevaban atormentando a la profesión décadas y décadas. Y en medio se crean la elección social (Arrow), la economía axiomática y la teoría de la negociación (Nash otra vez). Las generaciones posteriores pueden dedicarse a desarrollar esta sólida base (puntos 3 y 4)[3].

Ah se me olvidaba. El instrumento matemático que usa Nash[4], vamos, el desatascador, había sido publicado en 1941 por Shizuo Kakutani un matemático japonés que habiendo pasado por el Instituto de Estudios Avanzados había tratado con von Neumann.[5] Después de la guerra volvió al Instituto y luego a Yale. Su hija Michiko tenía la reputación de ser una de las críticas literarias más fieras del New York Times. Y también es autora.

Todo este lío ¿para qué?

Seamos sinceros. Las matemáticas no tienen buena prensa en este país. Y no voy a intentar arreglar eso ahora. Una de las quejas que uno oye a menudo a los estudiantes de grado de economía y similares es que están ahí para entender la sociedad no para ser abrumados con toneladas de matemáticas. Y que no ven la necesidad de todo aquello. Así que queridos apabullados, os lo voy a explicar.

La prueba de la existencia de que nuestro modelo preferido tiene un equilibrio es básica porque sin ella no existirían regularidades a estudiar. Y nuestra creencia de que en sistemas económicos descentralizados existe un equilibrio y por tanto unas regularidades no estaría justificada. Si el resultado de ese sistema fuera el caos, posiblemente el estudio de esos sistemas no tendría sentido ya que los datos no dirían nada[6]. Desde un punto de vista lógico la existencia de equilibrio es una comprobación de que el modelo no posee contradicciones internas en las relaciones que postula[7].

Pero hay más. La economía trata de sistemas muy complejos. Vais a ver. Imaginemos el siguiente modelo:

Variable x ↑ Variable y ↓ Variable z

donde ↑ significa que la variable de la izquierda determina la variable de la derecha y que la relación es creciente, eso es a mayores valores de x le siguen mayores valores de y. ↓ significa lo mismo, pero ahora la relación es decreciente o sea a mayores valores de y le siguen menores valores de z. Supongamos que hay un aumento de x. Sabemos por nuestro esquema que eso llevará a un aumento de y y una disminución de z. No necesitamos ninguna fórmula abtrusa que nos diga cómo funciona ese modelo. Por ejemplo, una subvención (x) aumenta la electricidad producida (y) y disminuye el precio de esta (z). Pero si esa disminución del precio hace que la recaudación sea menor, eso disminuye la subvención y la producción y aumenta el precio, lo cual nos lleva a.... La simple interacción entre z y x hace que no podamos decir que efecto tendrá una subvención en el precio de la electricidad... Qué decir si el sistema tuviera unas interacciones aún complejas. A veces veo diagramas con flechas volando hacia todas partes y me pregunto qué se puede aprender de eso...

Resumiendo, que es gerundio

La microeconomía trata de sistemas complejos que podemos representar por modelos en los que la mayoría de las variables están interrelacionadas. Un modelo de una economía sin sector exterior ni gobierno mínimamente realista debería tener, al menos tres tipos de consumidores (jóvenes, adultos y retirados), tres tipos de bienes de consumo -agrícolas, industriales y servicios- tres inputs además del trabajo -energía, capital fijo y primeras materias- tres tipos de trabajadores -clasificados por sus niveles educativos- y tres activos financieros -bonos, acciones y depósitos bancarios. Pregunta: ¿Qué efecto tendrá sobre los precios agrícolas un pequeño incremento de la productividad de los trabajadores más educados? Inténtalo sin un modelo matemático. Y luego mira a ver si descifras lo que pasa en el resto de la economía. Como dice Dani Rodrik, necesitamos las matemáticas porque no somos suficientemente listos igual que necesitamos grúas porque no somos suficientemente fuertes...

Y si te repugna la visión de que lo que hacen los mercados es resolver ecuaciones, piensa que cuando estás montando una bici, tu cerebro está resolviendo unas muy complicadas ecuaciones diferenciales.

[*] Los comentarios de Carmen Beviá, Juan Luis Jiménez, Lourdes Moreno y Juan D. Moreno-Ternero han ayudado notablemente a perfilar los argumentos aquí expuestos. Todos los errores y omisiones son de mi exclusiva responsabilidad.

[1] Una fuente de informaciones interesantes sobre el Instituto es esta.

[2] El aspecto y la voz en inglés del genio pueden verse y escucharse aquí

[3] El libro de Sylvia Nasar "A Beautiful Mind" es una referencia obligada para la vida de Nash.

[4] Sugerido por David Gale otro destacadísimo matemático y economista de la misma hornada que Nash que junto con el laureado Lloyd Shapley -también de esa hornada- inventó los modelos de emparejamiento. Nash, Gale y Shapley hicieron la tesis con Albert Tucker que formalizó el dilema del prisionero y que junto a Harold Kuhn (otro Pricetoniano) desarrolló las condiciones de optimización que nos son tan familiares a los economistas.

[5] Kakutani era consciente de la aplicación de su resultado a la teoría de juegos, pero se conformó con una nueva prueba del teorema de von Neumann, ver esto.

[6] Pero no todo estaría perdido, ver la investigación de este señor antiguo alumno de licenciatura de la Complutense.

[7] El modelo puede ser autocontradictorio si sus conceptos básicos no están bien ensamblados. Una tonelada de matemáticas avanzadas no convierte a un modelo en lógicamente invulnerable.