Arrow y el despertar de la inocencia. (In memoriam).

La inocencia es una perfección que no debe ser echada de menos; en cuanto se la desea se ha perdido, y entonces nace una nueva culpa, que es la de perder el tiempo en deseos. (S. Kierkegaard)

oneman onevote

Durante el tiempo que duró el movimiento 15M tuve la oportunidad de hablar con hijos de familiares y amigos que participaron en él. Las conversaciones más interesantes surgían cuando me comentaban la manera en que iban resolviendo los problemas de decisión en las distintas asambleas y comités. A menudo se daban cuenta de que un sistema de votación presentaba ciertos problemas, que se intentaban resolver mediante otro sistema. Solía suceder que la nueva manera también presentaba sus propios problemas. Después de escuchar su experiencia y las discusiones asamblearias sobre cómo votar les daba la enhorabuena: “estáis descubriendo el teorema de Arrow”.

El lector de Nada es Gratis posiblemente esté familiarizado con este teorema. Dice lo siguiente: partimos de una población en la que cada persona ordena a su manera de mejor a peor una serie de propuestas (proyectos públicos, candidatos o cualquier otro tipo de alternativas) y queremos diseñar un mecanismo de agregación de esas preferencias, por ejemplo, un método de votación, que nos dé un orden social mínimamente consistente sobre esas propuestas. Por ejemplo, si todo el mundo prefiere A antes que B, en el ranking social también querremos que ocurra eso. Otra propiedad de coherencia dice que para decidir entre A y B solo debe importar cómo se ordenan A y B por los individuos y no qué piensan sobre C. Finalmente no quisiéramos que las preferencias sociales fueran las de un solo individuo (el dictador). El teorema de Arrow dice que no existe un sistema que cumpla todas estas propiedades. Cualquier método de votación será imperfecto.

La razón última del teorema de imposibilidad hay que buscarla en la pérdida de información que se produce al pasar de tantos órdenes como existen entre los individuos de la población a un solo orden social. Estamos reduciendo una realidad de muchas dimensiones a otra de solamente una. Simplemente no cabe todo. Conceptualmente no es un caso muy distinto al teorema de imposibilidad de reflejar en una superficie plana (dos dimensiones) los tamaños y formas de los países en la superficie terrestre (curvada en una tercera dimensión). O preservamos los tamaños o las formas, pero no ambas cosas a la vez. La imposibilidad no es causada por la imperfección humana, sino por la incompatibilidad matemática de las distintas propiedades entre sí.

Muchos de los debates sociales y económicos plantean estos problemas. Si queremos hablar de la desigualdad importará saber cuándo aumenta o disminuye, y eso implica tener una manera de comparar distintas situaciones, lo que a su vez implica tener una medida de la desigualdad. ¿Cómo construir este índice? Cualquier manera de hacerlo debe respetar unos criterios de coherencia. La literatura sobre el tema ha identificado unos cuantos: simetría, homogeneidad, independencia respecto a la población, principio de transferencia, descomponibilidad por grupos, etc. De nuevo nos llegan las malas noticias: no existe una manera de medir la desigualdad que satisfaga todas las propiedades. Cada índice cumple algunas de ellas a costa de incumplir otras. Si esto ocurre cuando acordamos medir la desigualdad de una variable (la renta, la riqueza, la salud, la educación, etc.) no es de extrañar que el problema se agudice cuando queremos tener en cuenta la desigualdad en todas las dimensiones posibles y más aún cuando tenemos distintos criterios de desigualdad (¿de oportunidades, de acceso a bienes básicos o de resultados?).

Hay muchos más ejemplos: cómo repartir un excedente entre varias partes que negocian o cómo liquidar una empresa en bancarrota entre los acreedores son problemas que no tienen solución única. No existe la regla de reparto perfecta. Todas ellas cumplirán unas propiedades deseables, pero no otras.

Cualquier problema de decisión con información imperfecta tendrá que enfrentarse con los clásicos errores estadísticos tipo I y tipo II. Condenar a un inocente es un error de tipo I, dejar libre a un culpable lo es del tipo II. Ningún sistema judicial está libre de ambos errores. Quienes se fijen en ejemplos del primer tipo pedirán una justicia más garantista, quienes se fijen en los del segundo tipo la pedirán más estricta. Ninguno puede tener completamente la razón porque ninguno entiende el problema entero. Cualquier medida política tendrá esos dos errores. ¿Queremos favorecer al colectivo X? A nada que haya un margen de error para identificar exactamente al grupo acabaremos favoreciendo a alguien de fuera del colectivo y dejando de ayudar a alguien de dentro. Habrá quien quiera reducir o aumentar esas ayudas fijándose en uno y otro caso. ¿Queremos aumentar la igualdad? Cualquier política tendrá consecuencias sobre el incentivo a trabajar y dará ocasiones al abuso. Esto no implica eliminarlas, sino diseñarlas para que las imperfecciones sean las menos posibles.

Al final tenemos el problema último de la economía: dedicar recursos escasos a fines alternativos. Cuanto más nos dediquemos a un fin, menos habrá para los demás. Cuanto más queramos cumplir unas propiedades o cometer menos un tipo de errores, más dejamos la puerta abierta a dejar de cumplir otras y a cometer otros errores. Es cierto que dedicando más recursos a la justicia podemos disminuir ambos tipos de error, pero será a costa de dedicar menos recursos a la sanidad o educación y comprometer la igualdad de oportunidades.

El teorema de imposibilidad de Arrow, la literatura posterior en elección social y la economía de la información, que el propio Arrow usó para estudiar los sistemas de salud y que están llena de apelaciones al imperfecto second best, en mi opinión, ilustran muy bien todos los problemas de organización social y el debate sobre ellos. Termino esta entrada con seis lecciones al respecto que he aprendido gracias a este tipo de estudios. Creo que no son poca cosa.

1. Sobre las utopías: simplemente son imposibles.

2. Sobre las esencias: no existe tal cosa como la esencia de la democracia, de la desigualdad, del reparto, de la justicia, etc. Para cada una de esas ideas hay aproximaciones imperfectas y que chocan entre sí. Adiós platonismo, para siempre jamás.

3. Sobre los nominalismos y debates semánticos: uno no es menos enemigo de la desigualdad por no querer exagerarla usando un índice especialmente sesgado.

4. Sobre las ideologías: una vez que hay distintas definiciones de reparto justo, cada una con sus propiedades, no existe una metapropiedad que permita decidir entre ellas. Este es el terreno de las preferencias personales y de las ideologías. No hay más razón en preferir un poco más de responsabilidad individual a costa de menos solidaridad social ni en lo contrario.

5. De lo anterior se sigue que es imposible deducir ninguna ideología, ética o moral, de la razón. Lo siento, Kant.

6. De lo anterior no se deduce que la razón no ayude a formar ideologías, éticas o morales coherentes. Antes bien, lo contrario es cierto puesto que la razón nos ayuda a definir mejor nuestros principios, a ser coherentes con ellos en la medida de lo posible y a vivir con alguna contradicción que otra. Eliminar lo imposible nos permite centrarnos en lo posible. Sabiendo las propiedades de las definiciones y de los mecanismos de decisión, sabremos mejor qué es lo que realmente queremos.

Para terminar, si a alguien le quedan ganas de una séptima lección, aquí hablé sobre la tentación de usar una sola idea como dictadora moral.

Hay 15 comentarios
  • Muy interesante el artículo. Respecto a las conclusiones relativas al campo de la filosofía, tales como lo de las utopías, el platonismo, el sistema kantiano, etc. recomiendo bastante que eches un ojo al sistema del materialismo filosófico ideado por Gustavo Bueno. Todas las reflexiones que has hecho cuadran bastante bien en su sistema, que por otra parte es potentísimo en cuanto a teoría de la ciencia se refiere (por ejemplo, su "ensayo sobre las categorías de la economía política").

  • Personalmente nunca le vi problema a la no transitividad. Al fin y al cabo está presente en piedra papel o tijera. E individualmente en las preferencias, en la práctica aunque a la teoría no le guste.
    Y de alguna manera creo que también en las segundas vueltas electorales: si no, se podría ordenar a todos los candidatos en lugar de votar solo a uno, y desempatar interpretando ese orden, p.ej. mediante asignación de puntos según el orden.
    Creo que donde hay 2a vuelta es porque se conoce esa inconsistencia. A mí me parece muy asumible, quizá porque he asumido la mía propia.

    • La intransitividad es un problema. Deja en el aire la elección correcta. La intransitividad en "piedra, papel, tijeras" está ahí justamente para que no haya una estrategia ganadora y hacer el juego interesante. Lo contrario de lo que queremos en una elección.

      • No niego que sea un problema.
        Afirmo que existe incluso en cada individuo.
        Ejemplo de elecciones: imagina que yo quiero votar al partido colorado, pero mi opción menos preferida es que gobierne el partido encarnado. Si preveo que hay probabilidades positivas de pacto entre esos dos partidos, puedo votar en contra de mi preferencia inicial para evitar mi última opción.
        En un supuesto de inversión estoy seguro de que puede pasar lo mismo.
        A bote pronto: si soy habitante de determinada región, ¿quiero que se invierta en infraestructura logística en otra? Depende de si es complementaria o competitiva con mi región, y de las demás alternativas que se contemplen. Seguro que se puede hacer un modelo en este sentido, con llamemos "comportamientos estratégicos".
        Insisto en que no niego que sea un problema, pero existe.
        También de memoria, en teoría de juegos hay matrices donde la actuación óptima depende del comportamiento de los demás y no siempre hay una estrategia dominante para cada jugador.
        Quizá estoy obviando algo y lo que digo queda como disparate; espero que no

        • Insu

          En tu ejemplo no estas definiendo el espacio de resultados (y por tanto las preferencias sobre los mismos) de manera correcta.

          Tu descripcion verbal de las preferencias es:

          Gobierno solitario Partido colorado > Gobierno solitario Partido azul > Gobierno coalicion partido encarnado y colorado > Gobierno solitario partido encarnado

          El que votes al partido azul, aunque tu mejor resultado sea "Gobierno solitario Partido colorado" para con ello minimizar la posibilidad de "Gobierno coalicion partido encarnado y colorado" no es consecuencia de una no-transitividad, es consecuencia de una no-monotonicidad de tus preferencias, que es algo muy distinto.

          Mas en general, cuando tienes situaciones de comportamientos estrategicos, hay que ser muy cuidadoso en definir el espacio de resultados y las preferencias sobre los mismos. Por ello el ejemplo de la inversion en otra region es, de nuevo, potencialmente incorrecto (no das detalles completos para estar seguro, pero mi intuicion por lo que dices es que no estas pensando bien en el espacio de resultados).

          Sobre la eliminacion de opciones: eso es un problema de irrelevancia de terceras alternativas, no de no-transitividad (aunque existe cierta relacion entre ambas propiedades, pero no es este el momento de discutirlas).

          Sobre despreferencias: en ese caso estas pensando en un conjunto axiomatico muy diferente.

          • Gracias Jesús
            No puedo argüir nada, más que como dices ya otras veces, modelizar ayuda a clarificar.
            Es posible o probable que no sea ni haya sido nunca consciente de lo que implica realmente el teorema de imposibilidad (si me suena que en los tiempos en que leía artículos vi uno que se titulaba algo así como"la irrelevancia del teorema de imposibilidad de arrow", que solo debí de ver o solo recuerdo el abstract, en que creo que decía que introduciendo supuestos realistas mínimos, perdía relevancia en el mundo real (tampoco sé si ese artículo está contrastado)
            Bueno, de nuevo gracias por correcciones, aunque al ego le sepan mal a la parte curiosa le encantan

            • La intuicion de tu comentario estaba en el sitio correcto: el problema de la agregacion de preerencias individuales suele venir de no-monotonicidades o de comportamientos estrategicos (aunque Arrow no precisa de estos ultimos).

              No se a que paper te refieres pero seria un resultado un poco raro. En clase yo siempre pongo un ejemplo de tres amigos que quieren decidir que pelicula ver en Netflix y no se aclaran. El resultado de Arrow es muy robusto (y de hecho al hacer "mas realistas" las hipotesis se hace mas general).

              Mira este libro:

              https://www.amazon.com/Analyzing-Politics-Rationality-Instititutions-Institutionalism/dp/0393935078/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1490227815&sr=8-1&keywords=analyzing+politics

              • No creo que sea un paper ni muy bueno ni muy influyente (tiene 255 citas, que para algo en el QJE y con tantos año es poco). Si te fijas no tiene formalizacion alguna y el argumento es meramente verbal, sin entrar en teoremas serios. Yo colocaria a este paper en el discreto baul del olvido.

              • A mi modo de ver, lo más que podemos decir es que en un determinado porcentaje de las elecciones sociales haber usado uno u otro mecanismo no habría alterado los resultados. Pero será una cuestión empírica el saber hasta qué punto es así y será relativa a esos mecanismos que comparamos y sin tener en cuenta el cambio en el voto estratégico al cambiar el mecanismo (salvo en casos que sirvan de experimento natural y se pueda tener en cuenta).

                En ningún caso evitará documentar que cada mecanismo de decisión ha tenido sus problemas y que estos han sido vistos efectivamente como problema por gran parte de la ciudadanía y, lo que es más relevante para el tema, que no existe el mecanismo alternativo que resuelva esos problemas particulares sin que salten otros.

      • PD: Como poco, matemáticamente, si alguna de las opciones está relacionada por derivadas parciales no nulas, la eliminación de alguna de ellas del menú altera el valor de la función para el resto.
        De alguna manera que aún no logro concretar, creo que si hablamos de despreferencias o "least regret", también creo que puede suceder esto.

        • A lo anterior ya te ha contestado Jesús. En esto de las derivadas, viene a ser lo mismo. El teorema de Arrow parte de rankings (órdenes) entre un número finito de alternativas y de individuos. No hay derivadas.

          Si en lugar de rankings queremos usar funciones de utilidad para los individuos y, a partir de ellas, llegar a una función de bienestar social que satisfaga una serie de condiciones a priori deseables tendremos problemas parecidos.

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