Blogueando a Jackson, fascículo 3

Me pongo a escribir este tercer fascículo con la impresión de que me dedico a darle caña al bueno de Matt. Así que antes de decir nada quiero aclarar que el curso me parece en líneas generales muy bueno, que ya me gustaría a mí ser capaz de contar lo que cuenta en el rato que lo hace e igual de claro, y que lo pongo son cosas que me llaman la atención como físico metido en camisas de once varas.

Tras ese disclaimer, diré que me ha parecido fatal que aparezca el punto "mean-field approximation" en el título de la segunda charla de la tercera semana, y que se mencione en la introducción, y luego no aparezca nunca más. Y de hecho ocurre lo mismo en la tercera charla. Jackson hace una aproximación de campo medio, efectivamente, pero no lo dice ni dice por qué se llama así. Así que, hala, ya lo hago yo, "no preocuparse".

La idea de la aproximación de campo medio en física se aplica cuando uno tiene un sistema con muchas unidades que interaccionan (por ejemplo, un retículo cuadrado en el que hay espines que quieren alinearse con sus vecinos) puede intentar simplificar el sistema suponiendo que hay un único espín que interacciona con "un espín típico o promedio" de todos los demás. Parece una aproximación muy salvaje y de hecho lo es, pero en según qué contextos y para que cosas (que sería largo de contar aquí, pero véase aquí) es muy útil. La otra versión de lo que es una aproximación de campo medio tiene que ver con sustituir un proceso estocástico por su valor medio, lo que nos arregla mucho la vida porque pasamos a tener una ecuación determinista. Eso es lo que se hace en el curso para calcular distribuciones de grados en grafos que se forman aleatoriamente, y con bastante buen resultado. Esto se discute por ejemplo en este trabajo de Benaïm y Weibull en Econometrica o en éste de Segis y Luis Izquierdo en Journal of Statistical Physics.

Eso sí, he visto a Jackson muy relajado con los formalismos analíticos para ser economista, porque dice que hay teoremas que en determinados contextos garantizan que esta aproximación es buena y converge en algún sentido, pero que en general no es así, por lo que hay que comprobar los resultados mediante simulaciones del modelo. Eso sí que no lo publica en Econometrica.

Hay otro punto delicado en lo que cuenta Matt que son los ajustes para identificar los parámetros de posibles modelos que expliquen la distribución de grado observada. Lo que dice está bien y entiendo que a este nivel no se quiera meter en honduras, pero las leyes de potencias y similares son gente muy mala, y tienden a portarse muy mal en los ajustes. En ese sentido, si alguien va a hacer ajustes de este tipo le recomiendo el review "Power-law distributions in empirical data", de Clauset y colaboradores. Un ejemplo de lo delicado que es esto es que si se impone que la distribución tiene soporte compacto, es decir, hay un grado máximo y otro mínimo, las cosas pueden cambiar mucho. (Ay, los infinitos.)

Finalmente, me he quedado muy intrigado por la conexión que podría haber entre los exponential random graph models (ERGMs) y el formalismo de la física estadística. Parece que lo que se está haciendo al definir los grafos es introducir una especie de Hamiltoniano que les asignaría una energía en función de sus características topológicas. Esto tiene que tener consecuencias interesantes. Seguro que muchos de mis colegas me dirán que vaya, que me acabo de caer del guindo; pues sí, ignorante que es uno. Eso sí, en los problemas de la semana pasada, ¡nota máxima!