90 años del modelo de Ising

Con eso de tragarme los ladrillos que tienen por programas los partidos, casi se me va el año sin darme cuenta de que el modelo de Ising cumple 90 años en 2015. Menos mal que este artículo (en inglés y de pago) me lo recordó, porque creo que hubiera estado muy feo que alguien que dice dedicarse a hacer modelos de sistemas complejos como yo no hubiera hablado del padre de todos los modelos... Pues sí, como seguramente sabrá usted, amigo lector, Ising (junto con su director de tesis, Lenz) propusieron el primer modelo de material ferromagnético que... Ah, espere, que igual no lo sabe. Claro, es que el bueno de Ising (y la mecánica estadística) no es tan mediático como Stephen Hawking (o la física de partículas). Pues nada, no se preocupe, ¡que aquí estoy yo para contárselo!

La verdad es que la historia del modelo de Ising ya es bonita como historia. El modelo de Ising fue inventado por... ¿Ising? ¡No! Por Wilhelm Lenz, hacia 1920. Lenz (página en inglés, no hay en castellano) fue un físico alemán que participó en el desarrollo de la mecánica cuántica, en concreto en la descripción matemática del átomo de hidrógeno. No era un primer espada, pero fue una figura relevante, y tuvo a Wolfgang Pauli (éste sí, un primer espada) como asistente. El caso es que el bueno de Lenz tenía por entonces como estudiante a Ernst Ising (también en inglés), y le propuso estudiar la transición ferromagnética. Ising se puso manos a la obra, escribió su tesis y la defendió en 1924 (aquí la traducción al inglés, es pública, no como otras) y luego publicó los resultados más relevantes en la revista Zeitschrift für Physik, en un artículo que ya apareció hace 90 años justos, en 1925. O sea, que Ising estudió y resolvió el modelo (luego veremos qué quiere decir eso) pero no lo inventó (pese a lo cual Lenz no firmó el trabajo de su estudiante), que suele ser lo que motiva el nombre. El que se llame "modelo de Ising" se debe a otro físico de primera fila, Rudolf Peierls, que 11 años después publicó un trabajo titulado "Sobre el modelo de Ising del ferromagnetismo". A todo esto, al pobre de Ising, que tras su tesis se dedicó a enseñar en institutos, la llegada de Hitler al poder le causó años de penurias y padecimientos, aunque había logrado huir a Luxemburgo, logrando finalmente llegar a Estados Unidos en 1947, pero no se enteró de que tenía un modelo a su nombre hasta 1949, en que se tropezó con el trabajo de Peierls. El resto de su carrera transcurrió dedicado a la docencia, ajeno al hecho de que cada año se publican en torno a 1000 artículos que llevan su nombre.

Pero volvamos al problema que Lenz le propuso a Ising: la transición ferromagnética. Un material ferromagnético es lo que vulgarmente llamamos un imán: un material que atrae a otros imanes o materiales magnéticos. La transición ferromagnética tiene lugar al aumentar la temperatura: superada la temperatura de Curie, el material pierde sus propiedades magnéticas. Básicamente y de manera muy grosera, lo que ocurre es que los materiales ferromagnéticos están compuestos por "unidades" (moléculas, átomos, agregados moleculares, electrones, ...) que presentan momento magnético, (que para partículas subatómicas es una extraña cosa cuántica llamada espín) es decir, que responden a campos electromagnéticos que se les apliquen. Por debajo de la temperatura de Curie, estas unidades están más o menos alineadas: los momentos magnéticos son vectores, y vienen a apuntar aproximadamente en la misma dirección. De esta manera, el material presenta una imanación espontánea: la alineación de los momentos magnéticos hace que el material como un todo actúe efectivamente como un imán. Cuando la temperatura supera la de Curie, los vectores se desordenan, dejan de apuntar en la misma dirección, y se pierden las propiedades magnéticas.

Cuando uno se plantea el problema de una manera realista (lo que de hecho obliga a una descripción mecano-cuántica, como un problema de muchos cuerpos) se encuentra con que es muy difícil de resolver matemáticamente. Por tanto Lenz optó por intentar un modelo (que como decía Turing es una simplificación y una idealización, y por consiguiente una falsificación) lo más sencillo posible pero que permitiera arrojar algo de luz sobre la transición ferromagnética. Así que restringió el problema a una única dimensión espacial (es decir, consideró un sistema físico descrito por una línea) y a una serie de "átomos" o "espines" colocados regularmente sobre dicha línea, que no eran otra cosa que flechas que sólo podían apuntar hacia arriba (valer +1) o hacia abajo (-1). Para completar el modelo, ya sólo nos queda especificar la interacción, lo que haremos de forma igualmente sencilla: diremos que dos espines que apunten en la misma interacción tienen menos energía que cuando apuntan en sentido contrario. O sea, que "les gusta" tener el mismo valor, los dos +1 o los dos -1. Aquí es importante notar que estamos limitando la interacción magnética al vecino más próximo, cuando en la realidad decae mucho más lentamente con la distancia y afecta a bastantes más vecinos... Creo que está bastante claro que efectivamente este modelo es una simplificación y una idealización... drásticas.

El modelo de Ising, tal cuál lo acabo de plantear, se puede resolver exactamente, y ahora aprovecho para aclarar eso de resolver que decía más arriba. Cuando uno tiene un sistema de muchas partículas, la mecánica estadística nos dice que todas sus propiedades termodinámicas se pueden obtener a partir de un objeto llamado "función de partición". Resolver un modelo es, entonces, ser capaz de calcular exactamente la función de partición. Bueno, pues la de nuestro modelo se puede calcular, como digo, y ahora viene lo bueno: el modelo es un puñetero desastre. La cuenta predice que a cualquier temperatura el sistema estará desordenado (es decir, no mostrará imanación espontánea) y sólo se ordena (se imana, todos los "espines" tienen el mismo signo) a temperatura... cero. Sí, señores, ¡la predicción del modelo es que no deberíamos ver imanes!

Pero, si sus predicciones son tan malas, ¿por qué el modelo de Ising es tan famoso? Pues porque a partir de este primer trabajo se han hecho muchos otros donde se ha visto que sí sirve para predecir. Así, en 1944, Lars Onsager (otro grande de la mecánica estadística, Premio Nobel de Química en 1968 por sus trabajos pioneros sobre termodinámica fuera del equilibrio) estudió la versión bidimensional de este modelo, donde ahora ya no tenemos una línea sino una red cuadrada, y cada espín interacciona con sus cuatro vecinos (Norte, Sur, Este y Oeste). En este caso, se produce una transición de fase a temperatura mayor que cero, por debajo de la cuál el sistema se ordena y exhibe imanación espontánea, indicando que el modelo, con todo y lo simplón que es, no está tan lejos de la realidad y que el problema del trabajo original de Ising era la dimensionalidad. De hecho, tras el trabajo de Wilson (Premio Nobel de Física en 1982) sobre el grupo de renormalización y la universalidad (inglés), hoy sabemos que el que un modelo mecano-estadístico presente una transición de fase o no depende tan sólo de su dimensionalidad y de algunas simetrías de la interacción. Aquí me va a permitir, amigo lector, que me ponga todavía más pedante de lo que me está quedando este artículo y le diga que en tres dimensiones el modelo de Ising no se puede resolver exactamente, y que, en realidad, es un ejemplo de un problema NP-completo, epítome de la intratabilidad (en pocas palabras, un problema es NP-completo si no se puede encontrar un algoritmo que lo resuelva en un tiempo que dependa polinómicamente del tamaño del problema, por lo que en cuanto involucra muchos componentes se vuelve irresoluble en la práctica).

Pese a su enorme simplicidad, como decía más arriba, el modelo de Ising ha dado origen a un sinnúmero de modelos similares que han tenido el mismo éxito aplicados en distintos campos. Pero como al final NeG es un blog de economía, voy a seleccionar sólo una, que fue propuesta por el Premio Nobel de Economía en 2005, Thomas Schelling. Schelling quería intentar entender el fenómeno de la segregación observado en muchas ciudades americanas (y no sólo), que aparece cuando barrios donde inicialmente hay población de varias razas acaban por ser sólo de una o de otra. Para ello propuso, en 1971, un modelo como el de Ising, donde +1 y -1 son dos razas distintas de la población, la interacción es la misma, y se introduce un ingrediente dinámico, es decir, los espines pueden cambiar de lugar cada cierto tiempo y lo hacen si a su alrededor el número de vecinos contrarios supera un cierto umbral (dinámica llamada por los físicos "de Kawasaki").  El propio Schelling, en su libro Micromotives and macrobehavior, que apunta en la misma dirección de la mecánica estadística al intentar entender los observables colectivos en función de los comportamientos individuales, reconoce "haber oído que los físicos hacen algo parecido" a su modelo. Por su lado, los físicos tardaron hasta finales del siglo XX en reconocerse en el trabajo de Schelling (véase este artículo también en inglés y de pago al respecto).

Es posible, amigo lector, que llegado a este punto diga, "bueno, pues no hay para tanto". No sé. Yo tengo que reconocer que estoy muy unido al modelo de Ising, ya que estudiando mecánica estadística en quinto de carrera hice un trabajo con mi buen amigo y mejor científico Rubén Pérez sobre dicho modelo, usando un ordenador que hoy se pondría colorado ante cualquier teléfono móvil. Incluso llegamos a re-descubrir algo llamado vidrio de espín, que viene a ser que las interacciones entre todos los espines son diferentes, lo cuál tiene importantes consecuencias sobre la transición de fase ferromagnética. Pero lo importante es que con ese trabajo aprendí la importancia de los modelos para entender qué es lo importante en un fenómeno físico, así como la relevancia de ver cómo pueden aplicarse en distintos campos. Y qué quiere que le diga: en este año, en el que celebramos 100 años de la teoría de la relatividad general de Einstein, me parece que el modelo de Ising tiene méritos sobrados para aparecer "en los papeles". Todas las ideas de la ciencia de los sistemas complejos, el concepto de "emergencia" como propiedad colectiva de un sistema resultante de las interacciones individuales, todo lo que la mecánica estadística nos ha enseñado sobre transiciones de fase, del agua a los atascos de tráfico, están ya en el modelo de Ising. Y sí, claro que la relatividad general es importante para nuestra vida, por ejemplo para el posicionamiento GPS, pero todo el mundo ha oído hablar de Einstein, a todo el mundo le suenan las partículas elementales de la física de altas energías, pero la mecánica estadística sigue siendo una gran desconocida. Como Ising. Así que la próxima vez que se compre un imán de nevera, querido lector, piense que si hoy entendemos porque ese imán es tal, es porque hace 90 años un estudiante aplicado resolvió un problema que le propuso un maestro arriesgado... y comprobó que el resultado no era bueno. Y que cincuenta años después, la mecánica estadística nos ha permitido entender por qué no era bueno, por qué se producen las transiciones de fase y, en definitiva, por qué hay más negros que blancos en unos u otros barrios.

Para terminar la entrada sólo me queda desearle un feliz 2016, a pesar de todo. ¡Y que nos sigamos viendo!