Necesitamos un nuevo currículo de matemáticas (II)

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De Pedro Ramos
Ya tenemos nuevo currículo de matemáticas de primaria. Desde mi punto de vista, desde luego, ni es nuevo ni siquiera creo que se le pueda llamar currículo. No se percibe ningún cambio de fondo, y la decisión de no organizar los contenidos ni por cursos ni por ciclos está pendiente de explicación. No sé si la idea es que sean las comunidades las que precisen esos aspectos, si lo que se quiere es dejar que sean las pruebas externas de 3º y 6º las que fijen los estándares, o si todo es producto de la falta de medios y de tiempo, y el empeño en poner en marcha la nueva ley ya el próximo curso.

En cualquier caso, el propósito de esta entrada no es analizar el nuevo currículo de primaria sino, centrándonos esta vez en la educación secundaria, intentar explicar que, aún más que un problema de currículo, lo que tenemos es un problema estructural, que se manifiesta en la preponderancia de las actividades y técnicas más mecánicas y rutinarias, y en el poco tiempo dedicado a las actividades de auténtico valor añadido: razonamiento, comprensión conceptual, resolución de problemas, interpretación de datos y resultados.

No conozco ningún estudio que aporte datos sobre el tipo de actividades que se están haciendo en nuestras aulas (ni del tiempo que se les dedica). Tampoco hay datos sobre qué se está pidiendo en los exámenes de los diferentes niveles educativos. Sobre nuestra única prueba externa, la PAU (selectividad), hablaré al final.

Una de las pocas herramientas disponibles para intentar conocer el día a día de nuestras aulas son los libros de texto, y querría proponer al lector el ejercicio de comparar los dos ejemplos de este enlace, que contienen ejercicios sobre el estudio de potencias de exponente entero. Creo que no es necesario ser un experto para darse cuenta de que el enfoque es bastante distinto:

  • En el libro español el énfasis está en la rutina, con la idea de que repetir ejemplos de las propiedades básicas hará que el alumno las memorice. Pero el mayor problema es que enseguida aparecen ejemplos complicados: se trata de un texto de 2º de ESO, y solo el curso anterior se ha comenzado el estudio del álgebra. La consecuencia natural es que muchos alumnos no pueden entender el fondo de lo que están haciendo, y no es de extrañar que el álgebra se convierta para algunos en un obstáculo insalvable.
  • El libro en inglés corresponde al equivalente de 3º de ESO de Singapur. Los ejercicios son más “sencillos”, y cada uno de ellos está pensado para que el alumno tenga que pensar sobre alguna de las propiedades básicas de las potencias.

La comparación resulta aún más llamativa si nos detenemos un poco más en los dos sistemas educativos. La enseñanza Primaria en Singapur dura 6 años, igual que la nuestra, y también empieza cuando el niño cumple los 6 años, igual que aquí. Sin embargo, ya al comienzo de la secundaria existen dos itinerarios, uno académico y otro tecnológico, a los que los niños son dirigidos en función de sus resultados en una prueba externa al final de la educación primaria, la Primary School Level Examination (PSLE). Aclaración: el objetivo de esta entrada no es tratar el tema de la educación comprensiva o diferenciada; para intentar evitar que el posible debate se deslice en esa dirección, aclararé que un examen con consecuencias académicas a una edad tan temprana (11-12 años) me parece claramente precipitado. Lo que querría subrayar es que en un libro español de 2º de ESO, etapa comprensiva, los ejercicios tienen un carácter claramente más técnico que los que aparecen en este texto de 3º de secundaria (itinerario académico) de Singapur. No se trata de un ejemplo aislado, sino de un patrón que se hace evidente en cuanto se hojean los textos correspondientes.

El ejemplo más sencillo que se me ocurre: lo normal en España es enunciar, sin más, que si a≠0, entonces a0 = 1. Sin embargo, sin profundizar adecuadamente en el porqué esto debe ser así, las matemáticas se van convirtiendo en un conjunto de recetas inconexas, al que es muy difícil dar un sentido coherente.

El lector interesado en consultar los currículos de matemáticas de Singapur los puede encontrar aquí. El O-level corresponde a nuestra ESO; la opción A es la académica y la T la tecnológica.

Por lo que respecta a España, el nuevo currículo de matemáticas de secundaria que entrará en vigor con la LOMCE está ahora en fase de elaboración, con el secretismo habitual en nuestro país. El actualmente vigente se puede consultar aquí (matemáticas en la p. 750). Desde mi punto de vista, lo que más destaca en la comparación es el exceso de literatura, tan común en nuestra legislación, y la falta de concreción. Como decía anteriormente, los únicos datos de nuestro sistema anteriores a la PAU son los de las pruebas internacionales, como el último examen de PISA sobre resolución de problemas. Los resultados de nuestro país en esas pruebas son consistentes con la tesis que se defiende en esta entrada: nuestros estudiantes son entrenados en las rutinas básicas y aprenden las fórmulas y procedimientos necesarios para resolver ejercicios estándar, pero encuentran muchas más dificultades cuando se deben enfrentar a problemas que requieren razonamiento y algo de creatividad.

Adentrarse en mi explicación para estos resultados requeriría detenerse en la diferencia entre ejercicios y problemas, y su papel en el aprendizaje de las matemáticas. No hay espacio para ello, pero el lector interesado puede leer sobre el tema aquí.

Antes de terminar esta entrada querría decir algunas cosas sobre nuestra única prueba externa con consecuencias curriculares, la PAU (selectividad). Esperemos que la actual selectividad no sirva de modelo para el diseño de las futuras pruebas externas de la LOMCE. Su gran problema es que no hace nada para evitar el principal peligro de este tipo de exámenes, el temido “teach to the test”. Para limitarme al caso que mejor conozco, los exámenes de matemáticas en la Comunidad de Madrid, es una regla (no escrita, pero que se cumple desde hace años) que en el examen de Matemáticas II aparecerá el estudio y resolución de un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro. La valoración de esa pregunta es el 30% de la nota final, y la consecuencia la evidente: en la mayoría de las aulas de 2º de Bachillerato de Madrid nuestros alumnos se pasan un mes practicando un algoritmo completamente rutinario. Por supuesto, no niego que el problema sea relevante, pero dedicar un octavo del curso al tema me parece claramente desproporcionado. En un espacio como éste no puedo resistirme a dar el ejemplo paralelo del examen de Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Aquí la pregunta que juega el papel análogo es el problema de optimización lineal. Pero claro, como la solución es con lápiz y papel, el problema se limita a dos variables, y es suficiente con que el alumno sepa representar unas cuantas rectas en el plano. ¿No sería más interesante hacer preguntas donde hubiera que modelar el problema, y hacer preguntas cualitativas sobre la solución? Ejemplos de los exámenes de la selectividad de Madrid de los últimos años se pueden encontrar aquí. Y aquí, una entrada que escribí sobre el tema, y donde muestro ejemplos de pruebas externas que me parecen mejor diseñadas.

Hay 23 comentarios
  • Comparto absolutamente el analisis del autor. Los libros que estudiamos en los 70 y 80 eran mejores que los actuales y mas baratatos, aunque con menos colorines.

    Parte del error puede ser que los libros de texto son un negocio que se basa en venderlo a los profesores con el dinero de los padres.

    A un profesor de matematicas licenciado en exactas le gustan libros con lenguaje matematico, tecnicamente complejos. No necesariamente los mas idoneos para el aprendizaje de niños de 12 años no especialmente brillantes en ciencias. Ademas, encima, como no los paga , le da igual el precio porque lo paga otro.

    Mi propuesta seria, que los libros los elija la administracion con un concurso publico, teniendo en cuenta los factores pedagogicos necesarios, que se comentan en la entrada, y el precio. Serian de mejor calidad pedagogica y mucho mas baratos, sin barreras de entrada comerciales a nuevos competidores, carisima distribucion y comercializacion, que hace que se conviertan en un magnifico negocio para algunas editoriales y un gasto terrorifico para muchas familias.

    Creo que seria facil bajar su precio a la mitad o mas mejorando la calidad, para beneficio de las familias y perjuicio de editoriales.

    • Fernando, comparto la idea de que parte del problema son los libros de texto, pero soy muy *muy* escéptico ante la idea de la administración seleccionando los textos. Y no sólo por lo que sería “nuestra administración”. Cuando hablo del tema, mi referencia favorita es este texto de Richard Feynmann, donde narra su experiencia en un comité para seleccionar los libros de texto de California: http://www.textbookleague.org/103feyn.htm

      • Si hay un metodo para analizar que medicinas son efectivas, tienen una relacion eficacia coste razonable y cuales no, no deberia ser mas dificil aplicar algo parececido a libros de texto.

        Un libro nuevo, mas facilmente que un medicamento, puede probarse en un grupo de control y analizar sus resultados, puede chequearse y corregir errores o descartarse si no mejora lo que ya existe, entiendo que las matematicas o la fisica que se van a estudiar en la escuela no cambian, y si el libro no da mejor resultado que el anterior ni es mas barato , es mejor no cambiarlo.

        Este tipo de seleccion dirigida al bien comun y no al beneficio comercial, solo se puede regular y sistematizar desde la administracion. A mi , no se me ocurre otra manera.

        Hay otras opcianes, que he oido empiezan a hacerse en base a internet, descargandose libros on-line, algun software etc.. Es otra posibilidad.

        Yo como ingeniero, puedo decir que la ingenieria se basa en que lo que tecnicamente parece correcto y se demuestra que funciona bien y es barato, es bueno y no se debe
        cambiar. Y lo que no funciona bien o es demasiado caro, se investiga y se buscan alternativas mejores y mas baratas. Normalmente, hay codigos y reglamentos que sirven de guia de como hacer las cosas, y que se basan en la experiencia historica de los expertos del ramo.

        Quizas si se aplicara ese metodo tan simple a la enseñanaza, en vez de ideologias o intereses comerciales, mejorarian las cosas.

        • Fernando: yo creo que debemos reconocer que los estudios en educación son más complicados que en medicina. La lista sería larga: no se puede empezar a experimentar con ratones, ¿cuántos padres estarían dispuestos a que se experimentara con sus hijos, para poder hacer selección aleatoria de los participantes? ¿cómo es el doble ciego en educación? Pero, sobre todo, muchas veces los resultados en educación se hacen evidentes al cabo de años.
          Dicho esto, estoy completamente de acuerdo de que en nuestro país falta definir una parcela de la educación libre de ideología. Una cosa es que discutan sobre educación comprensiva, pública, concertada, etc. Pero los currículos deberían ser elaborados de forma más profesional.

  • Mientras que estoy de acuerdo con que el metodo de “memorizar” solo puede dar un resultado positivo a una minoria de los estudiantes, me pregunto si la solucion, en vez de exigir un curriculo rigido a unas ideas, seria un curriculo abierto (de minimos), en el cual los institutos tuvieran un abanico de examenes y curriculos donde elegir? O crees que en Espanya dada la eleccion las escuelas elegirian la peor ensenyanza? No crees que la capacidad de variar, experimentar y probar es necesaria para garantizar una educacion que se adapta a las necesidades a largo plazo, en vez de esperar que algun funcionario tome la arriesgada iniciativa desde el ministerio?

    Tambien me parece digno de comentar, y mas en matematicas, la brevedad del examen de la PAU. Cuatro preguntas y gracias. Y todas de un nivel alto. Eso no deja mucho margen para calibrar el nivel correcto de un alumno. Una mala decision en una pregunta, es de una diferencia impresionante. No seria un examen mas largo, con mas variedad de nivel de preguntas, una manera mas justa de valorar los estudiantes? Ademas con eso matas hasta cierto punto lo de “teaching to the test”. Si hay mucho material que cubrir, no puedes pasarte un tercio del tiempo con un ejercicio. En Inglaterra el A-Level de Matematicas tiene cada examen sobre 8 preguntas, y son seis examenes como esta http://filestore.aqa.org.uk/subjects/AQA-MPC4-QP-JUN13.PDF

    No esta la solucion en dar a gente con pasion las herramientas para crear su propio curriculo?

    • Paul, estoy de acuerdo en que cierta flexibilidad podría dar resultados. El problema es que en educación no hay recetas mágicas. Mi ejemplo favorito en matemáticas, Singapur, es todo lo contrario: trementamente dirigista. Pero es cierto que no tiene sentido empeñarnos en que todos los chicos estudien las mismas matemáticas hasta los 15-16 años. Y reitero lo que decía en la entrada: nuestras matemáticas “comprensivas” de 2º de la ESO son más técnicas que las académicas de Singapur de un curso posterior.
      Con respecto a la PAU: completamente de acuerdo. No he escrito sobre ello porque no tengo demasiada información, pero como dices el A-level anglosajón es bastante más amplio, y el examen de la “abitur” alemana dura 4 horas.

  • No es cuestión de hacer un nuevo curriculum para solucionar el fracaso de muchos alumnos en matemáticas. A principio de curso suelo poner unos ejercicios sencillos para ver cómo están. Uno de tantos decía “cuánto vale el bien X por el que se he pagado 1.850€ de IVA”. Sólo 3 alumnos de 25, con edades comprendidas entre 17 y 20 años, supieron darme la respuesta correcta. El verdadero problema está en saber si los que imparten matemáticas en primaria les gusta dicha materia o la dan porque no hay remedio. No sé cúantos estudiantes de 1º de magisterio sabrán hacer dicha operación pero sería bueno saber que nivel tienen cuando entran y cuando salen.

    • Enrique: no niego que la formación matemática de los maestros sea también parte del problema. Y lo conozco bien, desde 2010 mi actividad docente es casi en exclusiva dando clase de matemáticas en una Facultad de Educación. Así aterricé en estos temas. Dicho esto, mi apostilla es que lo que muestra su comentario es que la necesidad del nuevo currículo empieza ya en primaria.

  • ¿Solo de matemáticas? Yo creo que se necesita un vuelco por completo de todo lo que se da en la educación obligatoria, no solo las matemáticas, que quizás es lo que está peor porque al fin y al cabo quién toma las decisiones suelen ser de letras, y luego pasa lo que pasa, que un poco más y permiten hacer el bachillerato social sin dar matemáticas.

    Yo hice el bachillerato científico técnico, con nota decente, y me di de bruces en 1º de ingeniería, con una buena PAU digo yo que no debería haber podido entrar… , la PAU es un mero trámite porque todos los años ponen lo mismo más o menos., con lo cual no sirve de nada para seleccionar alumnos, luego claro, pasa lo que pasa.

  • Almujul: no puedo estar de acuerdo, lo que pasa es que intento escribir sobre lo que mejor conozco. Los mejores ejemplos de que el problema se da también en otras áreas son la lengua (con especialistas en análisis sintáctico que tienen dificultades para entender un texto de complejidad media, o para expresarse correctamente por escrito, y no digamos para hablar en público) y el inglés, donde muchos alumnos que llevan 12 estudiando la materia tienen grandes dificultades para arrancar a hablar.

  • Si se analizan los currículos, desde la educación infantil hasta el bachillerato, se comprueba que hay temas recurrentes, se diría incluso que obsesivos, que se tratan una y otra vez cada cierto número de cursos. La estrategia, al parecer, es el aprendizaje por repetición pero aumentando la dificultad. Pero el resultado no es el esperado porque, por citar un ejemplo, al finalizar sus estudios no se han formado grandes expertos en la digestión y el aparato digestivo, sino alumnos que saben dibujar un tubo en el que se conectan órganos pero que no saben alimentarse ni la forma correcta de comer y que además dudan al señalar dónde tienen el hígado o el estómago.
    Es demasiado frecuente la figura del maestro de primaria que se maneja más o menos en inglés pero tiene dificultades para enseñar matemáticas, por no hablar de su habilidad con el dibujo, la música o todo aquello que suponga cierta combinación de creatividad y movimiento. Tan frecuente como pueden serlo los profesores de secundaria que desconocen mucho de lo que se les exige a los alumnos en otras asignaturas distintas de la suya. Es una realidad de nuestro sistema educativo que no está exenta de hipocresía.
    http://www.otraspoliticas.com/educacion/asignaturas

  • Aprovecharé para proferir un par de jeremiadas:

    “No conozco ningún estudio que […] Tampoco hay datos sobre [ …]”

    En este país ¿Qué gobierno ha tomado decisiones sobre educación basadas en la evidencia científica?

    “[…] en fase de elaboración, con el secretismo habitual en nuestro país.”

    Por supuesto, será elaborado por los “asesores” a sueldo del partido que sostiene al gobierno de turno (asesores que pueden ser muy competentes -o no-, pero …).

    • Fran: poco que añadir … salvo quizá que por una vez esa carencia de estudios no se circunscribe a nuestro país, sino que es general.

  • Me ha encantado la entrada. Mi primer recuerdo de haber aprendido a pensar fue en el bachillerato, cuando de forma inesperada el profesor incluyó en todos los exámenes preguntas que aparentemente nada tenían que ver con el temario. Cosas como demostrar el teorema de pitágoras, o que cualquier número distinto de 0 elevado a 0 era igual a 1 🙂 Responder a esas preguntas no era requisito necesario para aprobar, ni siquiera para sacar buena nota, pero consumían gran parte del tiempo dedicado a corregir el examen. Recuerdo que el profesor se frustraba al ver el desinterés de adolescentes que se sabían salvados ya, por cuestiones que apenas les daban 1 punto extra. Cuando me he enfrentado a la tarea del aprendizaje de mis hijas, me he dado cuenta que ese gran profesor llegó muy tarde para la mayoría. Por eso con ellas intento que cuestionen y elijan en los pequeños retos de cada día. Elegir es la manera más sencilla y cotidiana que conozco de pensar.
    Muchas gracias
    PD y de libros de texto… Qué os voy a contar!

    • Elena: muchas gracias por el comentario. Añadiría que mi percepción es que, por desgracia, esos profesores son cada día menos frecuentes (nada extraño: salvo el propio sentido del deber, todo lo demás empuja en la dirección contraria – alumnos, sistema escolar, …). En cuanto al demasiado tarde, también de acuerdo. Mi primer lema es que la única forma de mejorar el sistema es empezar por la enseñanza primaria. Ojo: y digo primaria, no infantil. Creo que la educación infantil funciona bastante bien, y el único peligro es que nos la carguemos con la presión que empiezo a observar de que en los “buenos colegios” los niños ya leen, o ya suman, o ya … a los 5 años.

  • Muy interesante su artículo. Estoy de acuerdo con que se da demasiada importancia a rutinas, fórmulas y procedimientos.
    Yo creo que de nada sirve que se enseñe muchas cosas si no se comprende una fundamental: las matemáticas son una forma de razonar y de expresar los razonamientos, y no meramente una herramienta de cálculo. Quizá estaría bien que en la secundaria se haga hincapié en demostraciones sencillas que sirvan al alumno para adquirir destrezas en la forma de argumentar en matemáticas. En definitiva, se trata de que los estudiantes comprendan la enorme utilidad de las matemáticas como forma de razonar.

  • Un matiz, Gonzalo. Creo que parte del secreto es cómo empezar a razonar. La introducción prematura de un exceso de rigor formal puede convertirse en un obstáculo para la comprensión y el razonamiento. Y en este punto creo que los matemáticos (como comunidad) debemos entonar un mea culpa.

  • Ayer me enfadé mucho con mi hija, de 6 años, que está en primero de primaria. Básicamente va avanzando en todas las asignaturas a base de trucos y memoria fotográfica, pero sin aprender nada de nada, de forma mecánica. En cuanto se la saca de la rutina, se pierde. Y ciando llegan las notas, o como se llame ahora, incluso son buenas. Mi abuela me contaba que sabía la tabla de multiplicar cantando, el inspector llegaba, (era 1910). las niños cantaban la tabla y salía encantado. Si le preguntabas a cualquiera de ellas una multiplicación aislada, sin cantar toda la tabla, simplemente no sabía. Pues ahora es igual. Avanzan mecánicamente, pero sin tener ninguna base. Con el inglés es peor. A final de infantil, saben leer malamente en español. Desde septiembre cuando empieza el curso, se les exige que lean y comprendan el inglés. Ya tengo comprobado que sino se machaca en casa, no se llega a ningún lado.

    • Jesús: créame que puedo decir con total fundamento aquello de “sé de lo que me habla”. Durante los años de la primaria, ver lo que mis hijas estaban haciendo en el colegio era mi principal fuente de frustración. No es que la cosa haya mejorado, pero te acostumbras. Luego, alguna carambola profesional ha hecho que termine trabajando en este ámbito, y con el mayor entusiasmo. ¿Qué hacer al respecto? El apoyo en casa es una ayuda, desde luego, pero no puede ser la solución. (Y cuando van creciendo, resulta cada vez mas complicado). Un último comentario, con la mayor de las prevenciones: la culpa no es de su hija

  • Espero con verdadera expectación que llegue la primera prueba para obtener el título de secundaria. El que la primera convocatoria no vaya a tener validez académica ya indica que alguien se ha dado cuenta del riesgo que se corre: ¿qué pasaría si suspenden un 30% de los alumnos (nada descabellado)?. El primer año probamos y el siguiente ajustamos para que el número de aprobados supere el 90% como en la PAU.
    Tengo experiencia en corregir pruebas libres de secundaria y raramente se llega al 20% de aprobados, siendo lo más habitual el 10%. Es mas, alumnos un mes después obtuvieron el título por una vía normal, fracasaron en ellas estrepitosamente.
    No servirán para nada, salvo para lanzarse los trastos unos a otros y para condicionar toda la enseñanza secundaria a lo que caiga en ellas (pobres profesores de las materias que no se evalúan).
    Ejemplos de pruebas: http://www.educa.jcyl.es/adultos/es/pruebas-libres/modelos-pruebas-convocatorias-anteriores

    • Juvenal: coincidimos, también espero con mucha expectación esas primeras pruebas externas. Pero personalmente, más relevante que si esas primeras pruebas tienen o no efectos curriculares, o si aprobarán el 90% o el 77%, me parece que estén bien diseñadas, porque el diseño tendrá una fuerte influencia en el día a día de las aulas. Buenos ejemplos existen por ahí fuera, lo que no sé es si los responsables echarán un vistazo o seguirán en la postura Spain is different …
      Para terminar, el vistazo ha sido rápido, pero esas pruebas libres de Castilla y León no están tan mal … Otra cosa, claro, es los resultados del examen, si los alumnos que las hacen son aquellos que no han conseguido completar la ESO …

  • No necesitamos un nuevo currículum de nada, necesitamos exigencia:

    – Los exámenes puestos de ejemplo de Singapur son más difíciles que los de España. Son un paso más allá de la mera memorización de reglas. Ojo, para resolver esos problemas hay que pasar antes por ser capaz de resolver los problemas de los libros de texto de España. Es un mero problema de exigencia.

    – Los A levels británicos son más difíciles que la selectividad española. Y no es que exijan más razonamiento (que lo exigen), sino que también exigen más conocimiento, y mucho de él memorístico. Otro problema de exigencia en la educación.

    ¿Cómo se consigue aumentar el nivel de exigencia? ¿Más horas? ¿Profesores más formados? ¿Menos asignaturas chorras?

    • El problema es que la exigencia también hay que decidir hacia dónde dirigirla. El problema es que en España, casi siempre, cuando un centro, o un profesor, decide ser “más exigente” en matemáticas, lo que suele ocurrir es que la cuenta es más larga, la derivada más complicada, o la integral más rebuscada.
      Estoy de acuerdo en que hace falta recuperar un cierto nivel de exigencia, pero es esencial decidir bien en qué queremos ser exigentes. Y por eso me interesa tanto el caso de Singapur. Cuando se hojean sus textos correspondientes al nivel de la ESO, los ejercicios parecen menos técnicos (en realidad, creo que están muy bien pensados para ayudar a la comprensión conceptual). Sin embargo, como bien dice, cuando se llega al final del bachillerato, muchos de los ejercicios que se plantean en Singapur (o en el A-level) están fuera del alcance de nuestros alumnos, porque les falta la suficiente comprensión de los conceptos básicos.
      Otro ejemplo que me parece muy adecuado es el área de Lengua: ¿debemos ser exigentes en sofisticados análisis sintácticos, o poner el acento en la comprensión de textos complejos, y la correcta expresión oral y escrita?

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