Guía para aprender métodos cuantitativos en economía (I)

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En una serie de entradas voy a presentar una breve guía de recomendaciones para aprender métodos cuantitativos en economía. Mi objetivo principal es que tal guía sea útil para aquellos estudiantes que sientan la necesidad de completar la escasa formación en esta área que ofrecen muchos de los planes de estudios de grado de las facultades de economía de España. Un objetivo secundario es que la guía pueda servir a terceras personas interesadas en estos temas, desde economistas que hace tiempo se dedican a otros menesteres a lectores de diversos campos del conocimiento.

Durante los últimos años me he encontrado a menudo con la petición de tal guía. Sin ir más lejos, la semana pasada y a raíz de mi entrada sobre aprendizaje automático, varios lectores dejaron comentarios indicando el interés por la misma. Es una labor que encaro con cierto temor pues es una tarea más compleja de lo que parece.

Primero, por el mero tamaño del empeño. En el espacio de una entrada en NeG no podré más que rascar la superficie de los múltiples temas a tratar y corro el peligro de confundir más que ayudar si no soy cuidadoso en mis recomendaciones.

Segundo, por la amplia variedad de libros y recursos existentes. Existen, por ejemplo, muchísimos más libros de calidad en análisis real que en macroeconomía. Mientras si uno quiere aprender, pongamos, teoría del crecimiento moderna, solo hay 3 o 4 libros que hace falta manejar, circulan en este momento un par de docenas de libros de análisis real muy buenos. Seleccionar uno u otro es más fruto de la experiencia personal (¿qué libro empleo yo?) que de la clara superioridad de un texto sobre los restantes. Pido por ello a los lectores especial cautela en valorar mis recomendaciones más lejos de lo que se merecen. Esta guía podría ser re-escrita con libros totalmente diferentes y ser mucho mejor.

Tercero, y quizás el motivo principal, porque aprender métodos cuantitativos es un reto si se ha de hacer solo. Si un estudiante quiere aprender, pongamos, historia económica mundial, la labor es más sencilla. Leyendo con cuidado una selección de 5 o 6 libros se puede llegar con cierta facilidad a un conocimiento más que adecuado del área, por ejemplo, para comenzar un programa de doctorado en este campo con garantías. Por supuesto que es mejor poderse sentar en la clase de algunos de los líderes de esta área y aprender directamente de ellos. Pero si las circunstancias impiden tal fortuna, el remedio de lectura cubre la situación con cierta solvencia. En comparación, sin nadie que le explique a uno las sutilezas de un teorema o cómo escribir una prueba correctamente, es mucho más difícil alcanzar la soltura y madurez matemática necesaria. Cuando miro mis propias clases a lo largo de mi carrera universitaria recuerdo como mucho más importantes a mis profesores de econometría señalándome una idea o la otra que a mis profesores de organización industrial haciendo lo mismo. Y no porque esta segunda área sea menos importante o mis profesores fueran peores, simplemente por el más alto porcentaje de valor añadido de las clases sobre el contenido total de la asignatura en econometría que en a organización industrial. Quizás por ello, no hay casi MOOCs suficientemente avanzados sobre temas cuantitativos.

Finalmente, tres “regla del juego”. Uno, mi lector objetivo es un economista, definido aquí como alguien que se dedica al estudio y aplicación de la economía, bien en una universidad o en una institución pública o privada. Excluyo por tanto a las personas dedicas a la dirección de empresa. El que en España se emplea la palabra “economista” para designar tanto a un economista en el FMI como a un gestor de una cartera de valores me parece un error. No porque la labor de este último carezca de mérito o utilidad social, sino porque son cosas diferentes y mezclarlas confunde y da lugar a errores. En mi universidad, Penn (como en muchísimas otras universidades), los estudios de economía y de dirección de empresa no están ni en la misma escuela (una escuela es más o menos equivalente a una facultad en España, aunque no exactamente): economía está en ciencias y letras y dirección de empresas en la escuela de negocios. Y aunque es indudable que hay relación entre los dos campos (yo mismo enseño en la escuela de negocios una clase), el que ambas áreas estén separadas funcionalmente nos sirve bien a ambos. Es por ello que mientras que los lectores interesados en la dirección de empresa pueden encontrar algo de utilidad en los siguientes párrafos, deben de buscar otras fuentes complementarias de información más directamente dirigidas a ellos. De igual manera, si el lector es un matemático puede sentirse enfadado por mi olvido de campos fundamentales de su ciencia. La explicación es que esta guía no es para formar a un matemático, es para un economista. Saber teoría de números puede ser precioso pero tiene poco empleo en economía (es por lo que he criticado el programa, por ejemplo, de doble grado de economía y matemáticas de la Complutense, que parece más una acumulación de asignaturas que una estructura de estudios racional con un objetivo concreto).

Dos, voy a citar libros en inglés. Ya en otras ocasiones he expresado mi escepticismo con muchos de los manuales escritos en español (o traducidos). Para todas aquellas áreas del conocimiento que sean internacionales (y el análisis real es el mismo en España, China o Kenia), la opción debería siempre emplear manuales de reconocido prestigio a nivel mundial y en inglés. Así nos ahorraríamos más de un disgusto en esta universidad española nuestra tan castiza.

Tres, voy a evitar (sin ser doctrinario) libros “matemáticas para economistas”. Esto es algo que aprendí de Leo Hurwicz en Minnesota. Uno tiene que leer libros de matemáticas escritos por matemáticos, que para eso saben del tema.

Después de estas advertencias, puedo comenzar. Hoy voy a cubrir el material que la daría a un estudiante de grado una excelente formación en matemáticas junto con ciertos temas más avanzados. Esta formación es el conocimiento necesario para afrontar con éxito el estudio de los temas tratados en las entradas posteriores de esta serie y más propiamente cuantitativos. En la segunda entrada cubriré probabilidad (incluida teoría de la medida), estadística y econometría. En la tercera entrada trataré métodos numéricos. Finalmente, en dos entradas finales, me centraré en informática. No cubriré en la serie, solo por delimitar el terreno a magnitudes más manejables, asignaturas eminentemente formales como teoría de juegos pero que son más propiamente de economía substantiva que de métodos puros. Quizás alguno de mis co-editores se anime a ello.

Cálculo

El cimiento de cualquier formación es conseguir un buen nivel de cálculo. Y, además, este ha de estar más centrado en la comprensión de los conceptos que en la capacidad de resolver rápidamente integrales o derivadas. Esto es debido tanto a que el cálculo será el fundamento de posteriores asignaturas como por la existencia de programas que solucionan muchas de las operaciones que anteriormente se hacían a mano. Mientras que alcanzar destreza en las meras manipulaciones es importante (contrario a lo que se afirma a veces, no creo que exista verdadera comprensión de un concepto hasta que se ha empleado repetidamente, muchas veces de manera mecánica), no tiene mucho sentido para un economista pasarse horas y horas completando largas listas de ejercicios de integrales como las que aparecen en muchos libros.

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Un libro de texto muy común es Calculus (8th Edition) de James Stewart. Este otro sospechoso habitual es el que se da, por ejemplo, en el departamento de matemáticas de Penn. Ambos libros cubren desde los contenidos que anteriormente se daban en el bachillerato (funciones de una variable, introducción al cálculo diferencial e integral) hasta un tratamiento básico de ecuaciones diferenciales.

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Yo siempre he preferido (y como se ve en la foto que acabo de sacar, son los dos volúmenes que tengo siempre a mano), la obra de Tom Apostol (que por cierto se murió hace unos meses), volumen 1 y 2. El Apostol es muy suyo (comienza con cálculo integral y luego continua con cálculo diferencial), pero es mucho más cuidadoso en la presentación del material y menos enfocado a “preparar para el examen”. Otro libro de cálculo riguroso es el Spivak, aunque este es puede ser más difícil de encontrar.

Trabajar bien estos libros es el equivalente de dos o tres semestres/cuatrimestre de clase según el nivel inicial de cada uno (los semestres/cuatrimestres en esta entrada son definidos como en muchas universidades españolas como 15 semanas de clases, que descontadas las fiestas, que viene a corresponder a unas 56 horas presenciales; en Penn, un semestre tiene 28 sesiones lectivas de 80 minutos más 14 sesiones de prácticas de 50 minutos, en ambos casos ya descontados los 10 minutos de cambiarse de clase).

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El material de cálculo básico puede ser completado con un buen libro de ecuaciones diferenciales (este de Morris Tenenbaum y Harry Pollard es barato y a pesar de sus años cubre lo que uno tiene que saber) y otro de ecuaciones de diferencias (como este de Saber Elaydi). El material esencial se puede dar en un semestre adicional. Una clase en ecuaciones en derivadas parciales es menos importante para los economistas. De todas maneras un libro de texto standard sencillo es este.

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Algebra

El segundo paso es aprender álgebra lineal y, además, hacerlo bien. Muchos libros y la mayoría de las clases sobre el tema machacan a los pobres estudiantes con matrices sin explicar nunca de verdad que es una matriz o un autovector. La solución es el precioso libro Linear Linear Algebra Done Right (Third Edition) de Sheldon Axler. El libro cubre con soltura un semestre de clase.

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Algebra abstracta es menos importante en economía, pero ciertas partes de la misma (como las bases de Gröbner) aparecen a menudo en econometría y en macro. El libro que yo estudié en su día con Andy McLennan (en una edición anterior) es Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra (Fourth Edition) de David A Cox, John Little y Donal O'Shea.

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Optimización

Los economistas nos pasamos la vida entera tomando condiciones de primer orden y resolviendo problemas de optimización. A First Course in Optimization Theory de Rangarajan K. Sundaram cubre de manera perfecta lo que uno tiene que saber.

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Es un libro con más contenido de lo que parece y puede resultar forzado cubrirlo en un semestre, pero quizás con un cuidado en las selecciones, pueda encajar en 15 semanas de clase.

Análisis real

Entramos ahora en materias más avanzadas, que corresponderían bien con asignaturas optativas de tercer o cuarto año de grado o con asignaturas para una maestría.

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La más importante de todas ellas, con muchísima diferencia, es análisis real. El libro que nosotros empleamos en Penn es Understanding Analysis de Stephen Abbott. Otros clásicos son el Rudin, el Apostol de análisis y, bien barato, el Kolmogorov-Fomin. El material requiere, casi con seguridad, dos semestres de estudio.

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A los estudiantes que requieren más prácticas con los problemas de análisis, les suelo recomendar Problems in Real Analysis, Second Edition (2nd Edition), de Charalambos D. Aliprantis y Owen Burkinshaw, Problems in Mathematical Analysis I, II y III de W. J. Kaczor y M. T. Nowak, Berkeley Problems in Mathematics (3rd Edition) de Paulo Ney de Souza y Jorge-Nuno Silva y la colección de prelims de Princeton.

Métodos avanzados adicionales

Por si todo lo anterior fuera poco, existen muchos temas que se pueden tratar en más detalle. Sin ser enciclopédico, unas cuantas ideas son las siguientes.

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Primero, teoría de conjuntos. The Joy of Sets de Keith Devlin es todavía el libro que veo más. Se puede completar con topología. Más avanzado es Topology from a Differentiable Point of View de John Milnor.

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Un campo muy bonito y con utilidad en series temporales es análisis complejo. Complex Analysis de Joseph Bak y Donald J. Newman es una elección sensata para un semestre de introducción.

Quizás en grado de economía sea muy agresivo excepto para los más aventurados, pero saber algo de análisis funcional es muy util. Por ejemplo, Linear Functional Analysis de Bryan Rynne y M.A. Youngson. Para los que quieran estudiar este tema a nivel de maestría o doctorado, está el Rudin de Análisis Funcional y el de Lax.

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Finalmente, un tratamiento extenso, desde análisis básico a funcional, harmónico y complejo aparece en las Princeton Lectures in Analysis. Yo tengo los cuatro volúmenes siempre en la oficina de casa por si acaso.

Sobre temas de dinámica caótica (y aunque yo he explicado en esta entrada mi relativamente escéptica posición al respecto), Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (2nd Edition) de Steven H. Strogatz es una buena introducción.

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En optimización, tenemos libros más avanzados, desde el clásico Convex Analysis de Tyrell Rockafellar al casi igual clásico blue book con el que han estudiado tantas generaciones de economistas en Minnesota y Chicago. Además, Dimitri Bertsekas tiene muchos de sus libros gratis en la red. En tiempo continuo, Foundations of Dynamic Economic Analysis: Optimal Control Theory and Applications de Michael R. Caputo no me emociona en exceso, pero es de lo más facil de seguir.

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En algebra más avanzada, yo estudié en Minnesota dos trimestres con el libro de Serge Lang, aunque tengo que reconocer que no fue una secuencia que luego me haya servido de mucho en mi carrera.

Varios estudiantes de mi departamento que se dedican a la teoría pura estudian topología algebraica con este libro, pero yo no lo he empleado (ni conozco prácticamente nada del tema).

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Un resumen

Si yo tuviese que diseñar un programa de grado de economía, dado los contenidos actuales del bachillerato, incluiría como asignaturas obligatorias de matemáticas (recuerdo, sin entrar todavía en probabilidad, estadística o econometría):

1) Tres semestres de cálculo.
2) Un semestre de algebra lineal.
3) Un semestre de ecuaciones diferenciales y en diferencias finitas.
4) Un semestre de optimización.

Como asignaturas optativas (en orden de prioridad):

1) Dos semestres de análisis real.
2) Un semestre de análisis complejo.
3) Un semestre de teoría de conjuntos/topología.
4) Un semestre de tópicos (dinámica avanzada, caos, algebra abstracta).

Todas estas asignaturas serían de 6 créditos ECTS. Estos seis semestres obligatorios de matemáticas y cinco optativos se pueden comparar con:

a) los dos semestres obligatorios más uno optativo, todos ellos con 6 créditos ECTS, que cuento en el programa de la Carlos 3 de Madrid,

b) los tres semestres obligatorios y medio optativo de la Complutense, todos ellos con 6 créditos ECTS

o,

c) el programa de economía de la Rey Juan Carlos I. Este programa tiene solo dos semestres obligatorios de matemáticas, además de 4.5 créditos ECTS en vez de 6 créditos (hay también un semestre de matemáticas financieras, pero ese no cuenta como métodos formales, es hacer números que además hacen mejor ahora los ordenadores). En esta universidad, en primer año, dan más créditos en deontología profesional, principios jurídicos básicos e igualdad (introducción al derecho) y sociología que en matemáticas (y que en cuarto año se den 6 créditos por otras actividades culturales, deportivas y varias no es quizás la mejor opción). Me parece que es un programa que debería ser rediseñado con urgencia.

En un programa de maestría o de primero de doctorado incluiría:

1) Dos semestres de análisis real.
2) Un semestre de optimización avanzada (quizás distribuido en otras materias, esto es como se hace en nuestro programa de doctorado en Penn).

Como optativas para un segundo año de doctorado:

1) Uno o dos semestre de análisis funcional.
2) Un semestre de tópicos (dinámica avanzada, caos, algebra abstracta).

En la siguiente entrada entraremos en probabilidad, estadística y econometría, que es con lo que yo torturo a los estudiantes en Penn y, este año para fastidiar más, también en Oxford 😉

Pd: He actualizado un par de frases de esta entrada para reflejar que, a lo largo de la escritura de las entradas siguientes, la estructura de la serie ha cambiado. Ya que esta entrada tiene visión de permanencia, he considerado que tales cambios iban en el mejor interés de todos.

Hay 76 comentarios
  • ¡Qué entrada más útil, Jesús!

    Entiendo que los interesados en aprender más matemáticas serán los que, como yo, quieran entrar a algún programa de máster/doctorado serio, como en CEMFI o BGSE. El problema es la señalización de esos conocimientos para que sean tenidos en cuenta en la admisión.

    Por mi parte, en cuanto acabe Economía en la UNED, seguiré el diploma en Matemáticas de la UL, que se puede hacer a distancia. Es un año, pero espero merezca la pena. http://bit.ly/2iuWbnc

    ¿Lo ves adecuado?

    • No conocia el programa pero tiene buena pinta. Puede ser, como dices, una "señal" de calidad.

      Mi recomendacion seria recordar que en las universidades de habla inglesa buena parte de la "dureza" la impone el propio estudiante. Aprobar no es dificil a poco que hagas lo minimo (lo de suspender por suspender de muchas asignaturas españolas, al menos en el pasado, no se hace). Pero lo que te ofrecen es la posibilidad de aprender mucho mas de lo minimo. Es como mis propias clases estan estructuradas: si lo que quieres es que te de una "C", no tiene mayor secreto. Pero si quieres aprender de verdad, doy muchisimo mas material, lo suficiente para llegar muy lejos.

  • Gracias por el post.

    Respecto a álgebra lineal, qué opina sobre "Introduction to linear algebra" de Strang? Creo que puede ser bastante útil junto con su curso online en el MIT. ¿Cree que el libro de Axler es mejor para economistas, o mejor como libro de álgebra lineal en general?

  • Estupendo comentario. Espero con ansiedad sobre todo el siguiente (el de informática me interesa menos).

    Hay una cosa que me preocupa especialmente y es su predilección por los textos en inglés incluso sobre las propias traducciones. Es verdad que algunas de éstas son malas, pero no creo que lo sean todas. Por ejemplo, tengo un Calculus de Spivak en dos volúmenes de editorial Reverté, que siempre consideré un buen libro; lo mismo que, por ejemplo la Introducción a la Econometría de Wooldridge (tengo la segunda edición en español).

    • Es verdad que, al eliminar las traducciones, algunas veces pagan justos por pecadores, pero el lenguaje internacional de la ciencia es el ingles y creo que a menos que estemos tratando de asignaturas especificas (historia de españa, economia española), a los estudiantes les viene mejor acostumbrase desde el dia 1 a operar en ese lenguaje. Sigue siendo un aspecto donde podemos mejorar como pais.

  • Gracias por esta entrada Jesús, a ver si las universidades se animan a tomar algo de aquí.
    Tengo ganas de ver la segunda entrada, que es la que más me interesa.

  • Estimado Jesús:

    Para la parte de Análisis Real agregaría "Real Analysis with Economic Applications" de Efe A. Ok (http://press.princeton.edu/titles/8274.html). El libro trata de manera rigurosa los temas de análisis real más relevantes para los economistas.

    Anticipándome a la próxima entrada, el mismo autor tiene en su página web un manuscrito casi completo sobre "Probability Theory with Economic Applications".

    Saludos,

    Francisco.

  • Buena e interesante entrada. Muy de agradecer.

    Yo hice Ciencias Políticas y mi intención es profundizar (vía máster o incluso doctorado) en el campo de la economía política, las políticas públicas, la nueva economía institucional, etc. Pensaba reforzar mis conocimientos en análisis de datos y estadística (pues en la carrera se aprende la metodología en CCSS básica y poco más), pero no sé si para esas ramas es insuficiente y debería empezar desde la base (cálculo, álgebra y todo lo que Ud. ha indicado).

    No sé qué haría Ud. en mi lugar. Me ha hecho pensar con su post.

    Un saludo. Pedro

    • Respondo con mucha cautela pues yo no soy de ciencias politicas. Mi recomendacion esta sujeta, pues, a la sugerencia de chequear con otras fuentas.

      Mi vision es que un poco de mates hay que saber antes de meterse en estadistica mas profunda. De otra manera, va a ser dificil seguir algunos de los argumentos.

      De las areas señaladas anteriormente, las relevantes para aprender mas estadistica son calculo y algebra lineal.

      Calculo porque cualquier razonamiento formal (en terminos de modelos) o de un argumento en estadistica (para definir un momento, una posteriori, una prueba de consistencia) lo va a emplear. De hecho, al menos dos semestres de calculo deberian ser obligatorios en practicamente todas las carreras que no sean de letras puras.

      Algebra porque la mayoria de las derivaciones de estimadores se hacen con matrices.

      De todas maneras, el estudio de mates y estadistica puede ser simultaneo y uno reforzar al anterior. Por ejemplo:

      https://www.amazon.com/Basics-Matrix-Algebra-Statistics-Chapman-ebook/dp/B0116R46TQ/ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=1483534774&sr=8-3&keywords=algebra+for+statistics

      Espero que esto ayude.

      • Por supuesto que ayuda. Muchísimas gracias. A ver si me voy poniendo las pilas en mates.

        Un saludo

  • Me parece gracioso que se parezca cada vez mas a una ingenieria como la de organizacion industrial...

    • Si y no. Si, porque los metodos cuantitativos sirven para todo. La irrazonable eficacia de las matemáticas en todos los campos del conocimiento es ciertamente sorprendente:

      https://es.wikipedia.org/wiki/La_irrazonable_eficacia_de_la_Matem%C3%A1tica_en_las_Ciencias_Naturales

      No porque el enfasis es a veces ligeramente diferente. Por ejemplo, en economia, a nivel de postgrado, es muy importante saber escribir pruebas rigurosas de analisis real o entender ciertos conceptos de topologia. En ingenieria, saber escribir una prueba o topologia me da la sensacion, como observador desde fuera, que es menos importante que entender los fundamentos fisico (o quimicos) de un problema o saber como solucionar ecuaciones en derivadas parciales complejas.

      Pero en todo caso tu acertado comentario explica porque muchos economistas importantes han estudiado ingenieria en el grado. Es mucho mas facil para un ingeniero moverse a economia que para estudiantes de otros campos.

  • Gracias.
    He visto el primer vídeo de Strang y ya está abordando las cosas de un modo prometedor desde el inicio... igualito igualito que cuando me explicaron las integrales, tardé meses en saber que con aquellas cosas tan raras que tenía que hacer para solucionarlas en realidad estaba ¡¡¡ sumando ¡¡¡ Nunca nos comentó que eran SUMAS integrales, para llorar.
    Claro que comparado con el de inglés cuya frase legendaria era: "Open the windows pa que entre el aire", en fin...
    Un buen maestro es la diferencia entre una tortura y una delicia.

    • Yo me acordare toda la vida del examen de algebra de primero de la carrera: una pregunta era invertir una matriz 5x5. Un ejercicio absurdo e innecesario en el mundo de los ordenadores pero que servia para que el 50% de la clase suspendiera por la dificultad meramente computacional del problema y asi pareciese que la profesora era "buena" (y no lo digo por rencor propio: no soy malo manipulando numeros por manipular y yo saque buena nota)

      Eso si, jamas nadie nos explico la intuicion de que era una transformacion lineal y porque era util.

    • El curso del profesor Strang es muy recomendable. A mi me sirvió para reinterpretar una série de métodos estadísticos, tales como el modelo de regresión lineal (proyección ortogonal), el análisis de componentes principales (diagonalización de una matriz) o el análisis de correspondencias (aproximación con una matriz de rango menor), o por qué minimizar una suma de cuadrados, en vez de la suma de valores absolutos que en principio tendría más sentido.

      • Observando su propuesta de programa creo que no soy un economista equiparable a los de hoy en día. Acabé mi licenciatura hace muchos años cuando las matemáticas eran menos importantes. En fin, es normal, things have changed, que diría el reciente nobel de literatura

        He visto las dos primeras clases de álgebra lineal de Strand y, aun con mi rudimentario inglés, se siguen bien (aunque sigue usando pizarras de tiza!). Me ha sorprendido para bien la forma de explicar. En mis tiempos lo que él aborda en las dos primeras clases (la solución de un sistema de ecuaciones), no habría durado ni diez minutos. Eso sí, habríamos perdido muchas ideas e intuiciones de las operaciones con matrices.

        • Yo tambien empleo la tiza a menudo! Es una tecnologia probada 🙂

          Las mates son importantes, pero yo tambien doy clase de historia economica asi que no hay que olvidar que la economia es una area multidisciplinar.

          • Sí, algo debe tener la tiza para que siga siendo empleada. Pero parece que se pierde mucho tiempo escribiendo en la pizarra cosas que ya se podrían llevar hechas, aunque puede que para el alumno sea mejor: le da más tiempo para pensar y asimilar lo que se está haciendo.

            En cuanto a las matemáticas, no voy a discutir su importancia pero ¿no se está fiando demasiado en ellas? De mis tiempos de estudiante recuerdo un episodio que se me quedó grabado. En econometría se presentaba el método de mínimos cuadrados bietápicos con un argumento teórico irreprochable, pero luego en la práctica las estimaciones muchas veces no se diferenciaban casi nada.

            Hoy se exige a un economista una formación matemática muy avanzada (Strang por ejemplo, es matemático) y eso es lo que no tengo claro.

            • El ejemplo de los bietapicos es el tipico caso de las cosas que no se explican bien en muchos sitios. El motivo importante para aprenderlos no es un argumento teorico abstracto, es que los necesitamos para correr variables instrumentales. Y los resultados con variables instrumentales y MCO en muchisimos casos importantes son muy diferentes. No es tanto que se abuse de las matematicas como que los que las enseñan a menudo no las entienden.

  • Hola,¿Podrías indicar esos 3 o 4 libros de Crecimiento a los que te refieres? Otra curiosidad, ¿qué libros de Macro se están utilizando en la actualidad en los USA? Me refiero, tanto de introducción como de avanzada. Gracias

  • Estimado:

    Muy agradecido de la guía.

    A propósito de optimización... ¿Qué opinión te merece el siguiente libro en cuanto a relevancia del tópico para economía y calidad de exposición?

    https://www.amazon.com/Optimization-Vector-Space-Methods-Luenberger/dp/047118117X

    PS: ¿Esta guía está fundamentalmente pensada para macro? Pregunto pues, por ejemplo, tengo entendido que áreas de micro como Decision Theory son más intensivas en topología (entre otros) y no ocupan muchas herramientas tipo ODE's o PDE's.

    • 1) El libro de Luenberger es un clasico pero emplea analisis funcional. Mucha gente puede encontrar este enfoque demasiado avanzado para sus necesidades pero si el lector conoce el material relevante de analisis, aprendera mucho de el.

      2) Yo hago macro con lo cual algo de sesgo debo tener, pero espero que no demasiado 🙂 He enlazado libros de analisis real y funcional, ambos de los cuales se emplean mucho en teoria. Tambien he enlazado un libro basico de topologia, uno de topologia diferencial y otro de topologia algebraica. En mi casa, teoria de la decision esta muy bien representada (el 50% de los economistas en mi familia hacen teoria de la decision 😉 y no veo en la seccion de matematicas de nuestra libreria conjunta ningun libro obvio para ese area que me este dejando, al menos a nivel de guia basica.

      Quizas este de topologia?

      https://www.amazon.com/Topology-Economy-James-Munkres-Paperback/dp/B011WAJ5CU/ref=sr_1_9?s=books&ie=UTF8&qid=1483654235&sr=1-9

      • Efe Ok (NYU) está escribiendo un libro llamado "Elements of Order Theory" que seguramente será de utilidad para los que hacen teoría de la decisión. A modo de ejemplo, el capítulo 9 se llama "Functional (Utility) Representation of Preorders". Varios capítulos están disponibles en su página web.

        • Interesante, no había mirado ese. Gracias por mencionarlo. A propósito... se sabe cuándo publicará Ok todos sus libros pendientes? En particular estoy esperando el de medida y probabilidad.

      • 1) Claro, aunque es autocontenido en relación al análisis funcional, basta una base de álgebra lineal y análisis real (al menos así lo establece el autor en el prefacio).

        2) Perfecto! Sí, había visto el de topología, pensé que había más por ese lado que se considerase "básico". De todas maneras, desde mi ignorancia (estoy recién terminando un pregrado en economía) me da la impresión de que el orden de prioridad que describes está orientado a macro. Por ejemplo, según he escuchado, análisis complejo es menos relevante que análisis convexo si se quiere hacer micro (si me equivoco, no dudes en corregirme pues no lo afirmo con conocimiento de primera mano y, en parte, la pregunta iba en pos de aclararlo). Quizá en ese sentido es imposible hacer un orden de prioridad universal más allá de los "mínimos" (i.e. Cálculo 1-3, Álgebra Lineal y Optimización).

        Me surge otra duda, por cierto, en qué área de la economía se utiliza teoría de conjuntos al nivel de The Joy of Sets? (esto es, asumo, más allá de lo básico necesario para entender análisis real y topología).

        • 1) Como dices, creo que el orden de las obligatorias (calculo, algebra, diferenciales, optimizacion) tiene sentido para todas las areas (micro, macro, econometria, aplicadas). Es lo que todo el mundo tiene que saber y no me parece que haya mucho sesgo macro.

          2) Quizas, dentro de las optativas, alguien pueda cambiar complejo por analisis funcional, analisis complejo o topologia. Pero en todo caso, primero uno tiene que cursar analisis real. Complejo sirve para macro y econometria. Analisis convexo sirve para partes de micro, pero no para todas (en juegos, por ejemplo, no creo que se emplee en exceso). Por eso lo pondo despues. Pero una vez que se entra en optativas despues de analisis real tampoco hay una jerarquia definitiva y gente con intereses especificos pueden necesitar otras herramientas como logica avanzada que ni he tratado.

          3) Teoria de conjuntos avanzada se emplea en teoria de la decision y en fundamentaciones epistemicas. La gente que conozco que se dedica a estas dos areas, tienen el Joy of Sets siempre a mano 🙂

  • Un libro fantástico sigue siendo el Demidovich de problemas de análisis matemático. Está traducido a muchos idiomas, incluido el ingles y el español. Es cierto que presenta la teoría de manera muy somera y sin demostraciones, pero será suficiente para carreras de enfoque eminentemente práctico que, no nos engañemos, son la mayoría.

    Estoy completamente de acuerdo con la recomendación de eludir libros escritos por catedráticos españoles que suelen ser, o bien muy malos, o bien muy pedantes, cuando no ambas cosas.

    Por lo que respecta a la vieja cuestión de si la hipermatematización en economía conduce a alguna parte, es verdad que el 95% de los críticos lo son sin conocer matemáticas, pero también lo es que en el 5% restante están algunos de los mejores matemáticos, como Cédric Villani o Stanislav Ulam.

    Los desarrollos matemáticos ambiciosos en economía pueden ser intelectualmente admirables, pero... no nos enseñan nada sobre una realidad de naturaleza social. Son como montar un telescopio de altísima precisión en un barco. Que el mecanismo sea muy preciso no nos sirve de nada si la base oscila. La base es la conexión de los objetos matemáticos con los entes de la realidad.

    • No sé si lleva o no razón en lo de la hipermatematización (aunque yo soy también de esa opinión me temo que estoy entre los del 95%), pero el ejemplo del telescopio y el barco es buenísimo.

      • El ejemplo del telescopio y el barco es incorrecto. El verdadero poder de las matematicas no es permitirnos ver mas lejos, es mantenernos honestos. Sabes cuantas veces me ha pasado que hablado con coautores alrededor de una cerveza y desarrollar un modelo maravilloso de X y, luego, al sentarme con calma y formalizarlo resulta que no funciona? Las condiciones de primer orden son tozudas y no se doblegan a las trampas retoricas. Yo escribo bien y te aseguro que te podria meter decenas de veces el puñal por la espalda sin que te dieras cuenta si solo tuviese que emplear palabras. Es cuando tengo que escribir matematicas que no te puedo engañar (o es mucho mas dificil). Es por lo que los mediocres que escriben en la prensa digital no quieren emplear matematicas: porque sus argumentos se caerian uno detras de otro.

        Que Cédric Villani o Stanislav Ulam no esten de acuerdo me trae al fresco. No son economistas y no entienden lo que hacemos. He visto a Cédric Villani hablar de macroeconomia y solo dijo bobadas. La division del trabajo intelectual es clave (es Adam Smith y los alfileres). Como te crees que Cédric Villani, por muy listo que sea, va a poder refutar en 5 minutos que le ha dedicado al tema a Chris Sims que lleva pensando 40 años en el mismo? No se quien es mas listo, Cédric Villani o Chris Sims, (aunque te aseguro que hablar con Chris Sims es de las cosas que mas miedo me da en la vida y eso que es un autentico caballero en sus relaciones con los "inferiores" como yo: su cerebro funciona 10 veces mas rapido que el mio). Pero por mas listo que sea Cédric Villani que Chris Sims (que no creo que lo sea), en 5 minutos Cédric Villani no va a pensar mas que Chris Sims en 40 años.

        Una de las cosas que aprendes muy rapido en una universidad americana de elite como Penn es que la gente que esta en otros departamentos es superlista. Si los profesores de Comp Lit les parece que la teoria X o Y tiene sentido (por mucho que yo no la entienda o que me parezca una tonteria), lo mas probable es que si hablas con ello por 5 minutos de su tema te dejen a la altura del betun de los zapatos. Quien soy yo para decirle nada a la gente de Comp Lit como llevar su negocio? De igual manera, quien es Cédric Villani para decirme a mi como llevar el mio? Cuando Cédric Villani habla de macro solo muestra falta de sentido comun y de humildad intelectual. Y no lo digo por mi, lo digo por Chris Sims, Lars Peter Hansen, Bob Lucas, Ed Prescott y tantos otros que, de verdad, si hubieses podido hablar con ellos, te habrias caido en la silla.

        • No niego el poder dilucidador de las matemáticas en muchos ámbitos de la realidad, lo que incluye campos concretos de la economía, como la optimización de procesos productivos o logísticos.

          Todos hemos tenido que soportar "cuñados" que opinan a la ligera sobre si el nivel del océano sube cuando se derriten los casquetes polares, si bajo la lluvia es mejor correr para mojarse menos o si es más económico dejar la calefacción puesta todo el día. Uno acude a un planteamiento formal con matemáticas y enseguida el "cuñado" de turno queda felizmente en ridículo, a menos que su opinión fuera acertada por casualidad, lo que por desgracia ocurre en un 50% de casos, si la cuestión dilucidada es de tipo binario.

          Sin embargo, esto no es posible si de lo que hablamos es de economía política (y de política económica) que es lo que suele interesar al gran público y de lo que se debate (con muy baja calidad) en esos programas televisivos

          Si esos tertulianos tuvieran formación matemática serían capaces de pensar con mayor rigor y emitir opiniones más valiosas. También si conocieran derecho, historia, sociología y antropología, y de modo general si fueran menos fanáticos y no cargaran con tantas ideas preconcebidas. Sin embargo, el conocimiento del teorema del punto fijo de Brouwer no les aportará nada. El equilibrio general es un concepto superabstracto que no tiene nada que ver con la realidad social. Y eso por no hablar de desarrollos más recientes y sofisticados.

        • No digo que no sea más honesto plantear un modelo en términos matemáticos, pero sí me sorprende que diga que esa sea la principal función de las matemáticas. Incluso me parece un poco contradictorio con el ejemplo que pone a continuación. Cuando, tomando unas cervezas, expone a su colega un modelo maravilloso, no está siendo deshonesto (o eso se desprende de la redacción), simplemente de momento no ve que no funciona. Es solo cuando lo plantea en términos matemáticos que se da cuenta de ello. Es decir las matemáticas le permiten ver más o, por lo menos, ver antes y esto, junto con el escaso margen de ambigüedad que deja, es lo que yo consideraba la razón más importante para el empleo de este lenguaje.

          Pero no estoy seguro de que la eliminen completamente la ambigüedad. Al respecto me vienen a la memoria las supuestas demostraciones del teorema de Fermat y cómo los matemáticos (y no cualquier matemático, sino auténticos expertos), necesitaban bastante tiempo para dilucidar si la demostración era o no válida. Las matemáticas pueden ser tan sofisticadas que sea muy difícil encontrar "la trampa". Y en economía se emplean matemáticas cada vez más sofisticadas.

          • a) Mantenerse "honesto" no significa no mentir, significa obligarse a uno mismo a estar 100% convencido de que los argumentos son correctos. Sin matematicas es muy tentador "creer" que uno ya ha llegado a ese 100%.

            b) El ejemplo de la demostracion del teorema de Fermat es precisamente la mejor evidencia en favor de mi argumento:

            1) La primera prueba de Andrew Wiles tiene un problema.
            2) La comunidad matematica ve ese problema.
            3) Wiles soluciona el problema.
            4) La prueba esta publicada y aceptada por todos.

            Sin la existencia de pruebas formales 1)-4) nunca habria llegado a buen puerto.

            Significa esto que el sistema sea perfecto? No, pero la alternativca es mucho peor. Los marxistas, por ejemplo, siguen creyendo en la teoria del valor trabajo. Ian Steedman y otros demostraron que la teoria del valor trabajo es absurda: en presencia de produccion conjunta (que es la unica manera de pensar en capital con depreciacion menor de 1), es trivial encontrar ejemplos donde el valor trabajo de un bien es negativo. Los marxistas que estaban dispuestos a aceptar el uso de matematicas (John Roemer) se dieron cuenta de ello y se han movido a otras maneras de ver el mundo (Roemer dice algunas veces "marxiana" en el sentido de estar en la tradicion o inspiradas por Marx pero no marxistas). Los que se niegan a aceptar las matematicas siguen con la teoria del valor trabajo erre que erre.

            Y los austriacos jamas han sido capaces de crear modelos cuantitativos de su teoria del ciclo que funcionen. He hablado mas de una vez con grad students o assistant professors que habian dedicado mucho tiempo a ello (pues les parecia una idea interesante) y luego no habia salido nada.

            • Discrepo.

              A) No he dicho (ni creo que se deduzca de mi redacción) que ser honesto signifique no mentir
              B) No creo que en economía se pueda estar seguro de casi nada al 100%, ni siquiera usando matemáticas
              C) Teorema de Fermat: por tratarse de lo que se trataba, se examinó con el máximo detalle la cuestión por expertos de primera línea en la materia. No estoy seguro de los múltiples artículos económicos que emplean sofisticadas matemáticas (muchos hoy en día) sean sometidos a un escrutinio tan riguroso en lo que a su parte matemática se refiere. En todo caso solo quise poner de manifiesto que también puede haber falacias en los razonamientos matemáticos y no siempre fáciles de detectar. Con ello no pretendo negar que las matemáticas sean un avance.

              Creo que ya incumplo las normas de participación, así que no hace falta que haga público este comentario.

              Finalmente gracias por la entrada, por sus comentarios adicionales y por su paciencia.

              • "No estoy seguro de los múltiples artículos económicos que emplean sofisticadas matemáticas (muchos hoy en día) sean sometidos a un escrutinio tan riguroso en lo que a su parte matemática se refiere."

                No, la mayoria no lo son, pero no ni necesario, ni eficiente. Esto me lo explico Martin Eichenbaum hace mucho tiempo:

                1) Si el paper no vale para mucho (la idea, la motivacion, el resultado), no importa en exceso que este bien o mal. Muchos papers en ciencias puras tampoco estan bien pero como no contribuyen nada de importancia, no pasa nada.

                2) Si el paper importa, la gente lo mirara por arriba y por abajo y nos aclararemos si el resultado esta bien, es robusto o se puede generalizar.

                El poner las cosas encima de la mesa de manera explicita permite que 2) ocurra si es importante. Esa es la clave. El que un paper en una revista secundaria que no leera nunca nadie este bien o mal es irrelevante. El que el paper de Martin con Larry Christiano y Evans haya sido mirado 5000 veces nos ha hecho saber exactamente que funciona y que esta bien de los modelos con rigideces nominales a la Calvo.

  • Gracias profesor por tomarse la molestia y el tiempo de escribir esta entrada,que nos puede ser de mucha ayuda a muchos!

  • Soy ingeniero industrial de profesión y economista por devoción. Estoy en el tercer curso del grado en economía y puedo asegurar que mis conocimientos en cálculo, álgebra y estadística adquiridos durante mi formación en ingeniería me son muy útiles para comprender los desarrollos matemáticos que se utilizan en el análisis económico. Siempre me ha parecido más útil entender los razonamientos que aprender los de memoria. No conocía el grado mixto de matemáticas y economía pero me parece una muy buena opción si tu objetivo es profundizar en el análisis económico y la econometria.
    El artículo me parece muy interesante.

    • Gracias.

      El doble grado en principio es una buena idea (nosotros en UPenn tenemos uno) pero necesita ser pensado con detalle para que todas las piezas terminen de encajar. El doble grado de la UCM no me parece que haya llegado a ese nivel de encajar correctamente, auqnue quizas segun pase el tiempo termine funcionando mejor.

    • 1) El master de la BGSE es fantastico, uno de los mejores de Europa y con un claustro de primera categoria. Es una opcion excelente. Otros dos masters muy buenos en España son:

      http://www.cemfi.es/studies/master_phd/

      y

      http://www.uc3m.es/ss/Satellite/Postgrado/en/Detalle/Estudio_C/1371209143001/1371219633369/Master_in_Economics

      El del CEMFI es de dos años, lo que permite aprender mas pero tambien requiere mas inversion de tiempo (nada es gratis!).

      2) Muchas de los temas que he analizado tienen (o tendrian) que venir sabidos del grado. Me imagino que en Caminos habras visto muchos de ellos (quizas con asignaturas con otros nombres).

      3) La mayoria de los masters, incluido del de la BSGE, tienen clases de "repaso" intensivo de matematicas y estadistica en las que intentan comprimir lo mas basico de mi guia.

      4) Si te sabes bien las cosas de mi guia, estas preparado para escribir una tesis en un gran departamento, asi que tampoco te agobies 🙂 Se puede sobrevivir con menos.

      Espero que esto ayude,

  • Estimado Jesús ,

    Junto con la materia de crecimiento económico también alude a cuatro o cinco libros de historia económica mundial para tener un buen conocimiento de la materia . Me podría indicar que libros son a los que se refiere. Le agradezco el tiempo que dedica a este blog .Saludos.

  • Un libro de análisis matemático que me pareció muy bueno cuando lo leí es "Advanced Calculus: A Course in Mathematical Analysis", de Patrick M. Fitzpatrick (ahora existe una segunda edición).

    Con respecto a Análisis Complejo, en Coursera se puede ver "Analysis of a Complex Kind (Introduction to Complex Analysis)" dictado por Petra Bonfert-Taylor. Me pareció muy claro.

    Saludos,

    Francisco.

  • Jesús, muchas gracias, es precisamente lo que llevo tiempo buscando. Como parte de mi propuesta de tesis para el doctorado (que estoy haciendo muy poco a poco por la UNED) quiero tratar de formalizar la idea del corredor neoclásico de Axel Leijonhufvud. Estoy pensando en un modelo de crecimiento con dinero y stocks que permitan, al romperse por un shock demasiado grande, generar procesos de insuficiencia de demanda efectiva, y me encuentro con multitud de problemas para comprender algunos modelos ya realizados, en concreto con las ecuaciones diferenciales. ¿alguna recomendación adicional más concreta. Me refiero a comprender bien artículos como el siguiente.

    http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-4-431-45978-1_7

    Gracias, crack

  • Hola,

    El libro de Axler de linear algebra, creo, es bastante abordable incluso sin saber nada de cálculo infinitesimal. Es el libro con el que yo escribí mi primera prueba, por ejemplo. La ventaja/problema es que los temas de matrices (y sobre todo determinantes) se dejan bastante de lado y, aunque eso facilita las cosas, luego uno se encuentra un poco verde tratando con estas cosas. Por ejemplo, las formas cuadráticas, que es el pan nuestro de cada día en econometría, uno ni las ve.

    Una alternativa que a mí me sirvió es el libro de Lang de algebra lineal (los libros de Lang, en mi opinión, están todos bastante bien escritos, los de análisis están muy bien). Hay además un manual de soluciones que lo hace bastante apto para el self study.

    Mi sensación es que en economía el algebra lineal se termina usando sobre todo para hacer econometría. Eso significa que uno puede querer ver esto con una perspectiva computacional/matricial. En esta línea, creo, la opción más popular cuando yo estuve mirando era el libro de Strang que mencionabais arriba. Para mí tiene el problema de que a) es larguísimo y las partes dependen mucho las unas de las otras y b) para mí gusto está muy mal escrito.

    Mi alternativa al libro de Strang es el Matrix Algebra de Gentle. Es conciso, está bien escrito y se presta a ser libro de consulta.

  • Sobre los libros de cáculo/análisis.

    Si yo tuviera que recomendar un libro para empezar sería el Spivak (Cálculo). Tiene la 'belleza' de que uno no se entera de que es una traducción- las traducciones de libros técnicos suelen ser... Es posible que en primero de carrera la gente aún tenga un poquito de reticencia a los libros en inglés (no debería) así que es una buena opción.

    El Abbot para análisis está muy bien-realmente las explicaciones están muy bien y uno aprende a escribir pruebas-, pero tiene el problema de que se queda en análisis en una dimensión. Esto no es 'malo', pero de cara al prerrequisito de un libro de posgrado suele no ser suficiente.

    El libro de Pugh (Real Mathmetical analysis) es una muy buena alternativa, diría, como continuación del cálculo. Cuando yo lo estudié, era el sucesor del baby Rudin, que hasta entonces era muy popular diría (los primeros capitulos del Rudin siguen siendo estupendos, aunque un poco duros para el principiantes). Es relativamente gordo, pero se avanza rápido.

    Si uno quisiera ver un sólo libro que lo lleve de la manita desde el cálculo hasta el análisis con la misma notación (estoe s importante: el problema de saltar de un libro a otro de matematicas es todos los objetos y teoremas que suelen ser interdependientes), mi sugerencia es el Lang 'Undergraduate Analysis'. Lang escribe muy bien y es muy pedagógico. Tiene muchos otros libros de calculo que imagino serán igual de buenos, pero no los conozco.

  • Finalmente dos recomendaciones para análisis si uno está con el presupuesto apretado -aunque solo los conozco por encima.

    El Introduction to real analysis Rosenlicht es cortito y amable.

    Una alternativa que cubre también la parte de algebra lineal es del Kolmogorov Fomin (Introductory real analysis). Es, sin embargo, un libro un poco menos amigable.

  • Hola Jesus! quería saber qué te parecen los siguientes libros de texto con los que actualmente estoy trabajando para superar una singatura de 12 ECTS "Mathematical Methods for Economics". Los libro son los siguientes, "Mathematics for Economists" Simon and BLume y "Linear Algebra " (5th edition) Seymour Lipschutz.
    Un saludo

    • Depende de cual sea el objetivo.

      Si el objetivo a corto plazo es aprobar, quizas no sean mala idea, sobre todo si el profesor que da la clase los ha recomendado.

      Otra cosa es si me preguntases si son una buena manera de aprender en abstracto. Y ahi mi respuesta seria no.

      Linear Algebra (5th edition) de Seymour Lipschutz esta en la coleccion de Schaum's Outlines, que son guias para aprobar el examen, no para entender de verdad lo que estas haciendo. Cuando yo estaba en la carrera gane muchisimo dinero dando clases particulares. Muchos de mis estudiantes (espero que no se me enfaden si me leen ahora) no tenian particulares buenas aptitudes para las matematicas (en buena medida no por su culpa, sino como consecuencia de la horrible manera en la que se enseñaba matematicas en España en aquellos años). Mi objetivo no era nunca que entendiensen que era un autovalor: era que supiesen calcular el autovalor en el examen. Las Schaum's Outlines intentan hacer lo mismo.

      Con respecto a Mathematics for Economists de Simon y Blume. Como explique antes, no me gustan los libros de "Mathematics for Economists". Excepto algun caso excepcional (como los libros de Ok mencionados en otros comentarios), suelen ser "recetarios"y escritos sin la sutileza de un verdadero matematico.

      En definitiva: yo jamas recomendaria esos libros en mi clase. Pero si son los que el profesor ha mandado o lo que quieres es solventar la faena, quizas sean la mejor opcion.

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