¿Por qué Holanda perdió la semifinal en los penaltis contra Argentina?: La desventaja de que tu rival conozca la estrategia de tu estratega.

Por Pedro Rey Biel (Universitat Autònoma de Barcelona y Barcelona GSE)

Disculpe el lector que volvamos a hablar de fútbol y economía. Por mucho que a algunos el fútbol no nos entusiasme, tiene la ventaja de que, siendo los no fanáticos una minoría, todo aquello que toca lo hace brillar. Recientemente un amigo, el atleta tres veces olímpico y actual campeón de España de 5km, 10km y maratón, Carles Castillejo, me comentaba cómo el diario Mundo Deportivo ni siquiera había dado correctamente su nombre cuando la semana pasada anunció que por lesión no podría competir en el Campeonato Europeo de Atletismo de Zurich, mientras que en el mismo periódico se daban todo tipo de detalles sobre el lugar de vacaciones de algunos futbolistas locales. En los últimos días, gracias al fútbol, he tenido la rara sensación de que múltiples conocidos se interesaran por una vez por entender en qué consistía mi investigación y, en particular, el uso de la Teoría de Juegos y la estadística.

Todo ello ha ocurrido a raíz de un artículo en El País (aquí), que en su versión digital también incluía un enlace a un reportaje del programa deportivo “El Informe Robinson” (aquí), en el que se habla sobre el trabajo del catedrático de Economía de la London School of Economics, Ignacio Palacios Huerta. Como hemos discutido ya en este blog (por ejemplo aquí y aquí) Natxo, como le gusta que le llamen, se dio cuenta hace unos años de que el deporte, y en particular, los lanzamientos de penaltis en el fútbol, suponen una situación estratégica ideal, tanto por su sencillez como por los altísimos incentivos económicos que involucra, para testar los principios de la teoría de juegos. En particular, Natxo lleva años creando una base de datos de todas las tandas de penaltis en grandes campeonatos para analizar si los jugadores juegan de la forma estratégicamente óptima y, por tanto, siguen las predicciones del Equilibrio del Premio Nobel de Economía John Nash, que es el concepto fundamental sobre el que se asienta la Teoría Económica, y en particular la teoría de juegos, en los últimos 50 años.

La idea es muy sencilla. Un penalti es un juego de suma cero dado que si gana el lanzador del penalti, el portero pierde y viceversa. Además, es un juego en el que las estrategias posibles son básicamente dos: tirar el balón (o el portero) a un lado o a otro, a no ser que seas Sergio Ramos y te de por lanzar a lo Panelka (o mandar un obús a la quinta grada). La tarea del lanzador es sorprender al portero lanzando el penalti hacia el lado que éste no se espera, pues así se maximiza la probabilidad de marcar gol. La tarea del portero es justamente la contraria. Intentar adivinar hacia donde lanzará el jugador. El equilibrio de Nash nos dice que la estrategia óptima de ambos jugadores es por tanto resultar totalmente impredecibles, algo que se consigue igualando la probabilidad marcar un gol (o pararlo) a cada uno de los lados, lo que en términos de teoría de juegos se conoce como estrategia Minmax (se minimiza el máximo pago esperado que puede tener tu rival, lo que maximiza el tuyo).

Parte del trabajo de Natxo en los últimos años ha consistido en analizar la serie histórica de lanzamientos de penaltis de todos los campeonatos de fútbol de clubs y selecciones a los que ha tenido acceso. Gracias a ello obtuvo interesantes conclusiones, que han sido publicadas en algunas de las mejores revistas de investigación en Economía: American Economic Review, (junto a Jose Apesteguia, del que habló Antonio Cabrales aquí), Econometrica (junto a Oscar Volij) o Review of Economic Studies. Entre los resultados más destacables figuran: 1) los mejores futbolistas lanzan sus penaltis o se tiran como porteros, sin saberlo, de acuerdo al equilibrio de Nash y por tanto, son impredecibles pues el número de veces que se tiran a un lado u a otro es muy similar. 2) Los jugadores profesionales de fútbol internalizan lo que han aprendido en su trabajo y cuando acuden al laboratorio experimental de Natxo y participan en juegos estratégicos en los que ser impredecible supone una ventaja competitiva, son igualmente impredecibles y juegan de forma más acorde con el equilibrio de Nash que los individuos que no están acostumbrados a tener que elegir estrategias de forma impredecible en su trabajo diario y 3) Los futbolistas sienten la presión de ir por detrás en una tanda de penaltis y por tanto, no sólo casi siempre eligen cuando pueden ser los que empiecen lanzando, que hace que al final de una ronda dada la probabilidad de ir por delante o empatado sea mayor, sino que además los que empiezan lanzando resulta que ganan las tandas de penaltis con una probabilidad mayor que los segundos (60% frente a 40%).

Lo que es aún más interesante, desde un punto de vista no académico, es que los futbolistas, por muy buenos que sean intentando ser impredecibles, resulta que aún así tienen a lanzar los penaltis con un poco más de probabilidad hacia lo que Natxo denomina “su lado natural”. Es decir, los diestros tienden a cruzar la pelota y lanzarla al lado derecho del portero, mientras que los zurdos al revés. Sabiendo además que cuanto menos acostumbrado está un jugador a lanzar penaltis más marcada es esta tendencia, el análisis de Natxo se convierte en un arma estratégica espectacular, pues puede aconsejar a los porteros a tirarse hacia el lado natural del jugador que le lanza, donde es más probable que lo pare.

Natxo Palacios ha sido contratado en ocasiones por algunos equipos de fútbol como el Chelsea para que les ayudara a diseñar la estrategia de lanzamiento de los penaltis en función del rival. La ocasión más curiosa ocurrió la víspera de la final del Mundial de fútbol de 2010, cuando Natxo fue contratado por la selección de Holanda para vencer a la selección española, en caso de que la final se resolviera en una tanda de penaltis. Lo que, como todos sabemos, evitó Iniesta (“de mi vida”).

En todo caso, la semifinal del mundial de fútbol de 2014 entre Argentina y Holanda del miércoles pasado, nos ofrece una lección estratégica aún más curiosa. Durante los últimos días, el trabajo de Natxo como estratega ha salido de los círculos académicos y ha tenido una notoriedad especial. Coincidiendo con el mundial, Naxto ha publicado el ibro “Beautiful Game Theory”, del que hablábamos el miércoles, donde escribe a nivel divulgativo sobre la utilidad de la teoría de juegos para tomar decisiones estratégicas y lo ejemplifica con los datos de sus investigaciones sobre el fútbol. A raíz de esta publicación, la televisión y la prensa escrita de España, pero también de Argentina, Holanda, Estados Unidos, Reino Unido, Japón y hasta Qatar se ha interesado por el trabajo de Natxo, destacando que en el pasado (él afirma que en este mundial no lo ha hecho) trabajó para la selección de Holanda.

De esta forma, es bastante probable que el equipo de Argentina conociera que al equipo de Holanda, al menos en el pasado, le habían recomendado lanzar penaltis de manera imprevisible. Esto nos pone en una situación estratégica muy interesante: un equipo (Holanda), se cree más listo que su rival, pues cuenta con un informe que le aconseja que: 1) su portero debe lanzarse hacia el lado natural y 2) sus lanzadores deben resultar imprevisibles, y por tanto sólo en la mitad de los casos lanzar hacia su lado natural. Viendo el miércoles la tanda de penaltis, disfruté como un loco al comprobar que esto es exactamente lo que hizo el equipo holandés. El portero, siempre se lanzó al lado natural y los mejores jugadores holandeses alternaron el lanzar los penaltis hacia el lado natural o el contrario.

Disfruté aún más cuando vi que Argentina, escogía una estrategia de respuesta óptima a lo que estaban haciendo los holandeses. Por un lado, el nuevo héroe nacional argentino, el portero Sergio Romero, se lanzó dos veces hacia el lado natural y dos veces hacia el otro lado, lo que dada la estrategia de Holanda llevo a que parara dos penaltis. Además, el jugador estrella de Argentina, Messi, resultó imprevisible y lanzó hacia su lado no natural, el derecho, puesto que es zurdo y marcó. Los otros jugadores argentinos, no tan acostumbrados a lanzar penaltis, lanzaron todos ellos hacia su lado natural y también marcaron. Por todo ello, Argentina, el equipo que según los cronistas deportivos peor partido hizo consiguió alcanzar la final del domingo.

Todo ello nos permite aprender una importante lección estratégica: En entornos en que los jugadores no sean perfectos estrategas, lo que conocemos como “racionalidad limitada”, las predicciones de Nash saltan por la borda y lo importante es ser un grado más sofisticado estratégicamente que tu rival, pero que el rival crea que eres un grado “más tonto”. Si realmente lo óptimo es ser impredecible, más vale que tu rival no intuya cuál va a ser tu estrategia. Parece que Argentina sí intuyó la estrategia de Holanda. Como se pudo ver en televisión, era bastante cómico ver cómo el portero argentino, antes de cada penalti, consultaba un papelito guardado en su media que probablemente (¿nunca lo sabremos?) le decía hacia qué lado tirarse. Obviamente, el portero, quizá no queriendo revelar su estrategia, ha declarado que el papelito dichoso contenía frases de ánimo de sus familiares. ¿Nos lo creemos?

El equipo de Holanda no debe arrepentirse de haber contado en su día con un informe impecable desde el punto de vista estratégico como el de Natxo sobre cómo lanzar los penaltis, pero seguro que les hubiera encantado que el ruido mediático que ha hecho, que probablemente llegó a Argentina en esta misma semana, ocurriera después de la semifinal del miércoles. Quizá lo más interesante venga ahora: una vez se ha abierto la caja de los truenos, y los equipos ya saben que los otros equipos saben que los otros equipos sabe… así hasta el infinito, que la estrategia óptima de lanzar los penaltis es ser impredecible lanzando a cada lado con igual probabilidad, a lo que en Economía se alude como “Common Knowledge”, ¿Ocurrirá que a partir de ahora los datos de lanzamientos de penaltis se comporten de una forma aún más ajustada al equilibrio de Nash? Estoy seguro de que ésta es una pregunta de investigación que a muchos, con datos de fútbol pero quizá también con datos limpios de otras situaciones estratégicas más relevantes, nos gustará analizar en el futuro.

Hay 27 comentarios
  • Me parece un artículo muy ilustrativo. Particularmente me parece muy interesante la aportación de que los futbolistas profesionales tienden a comportarse de forma más acorde con el equilibrio de Nash. Supongo que eso mismo se podrá decir de otras muchas situaciones estratégicas que se dan en el fútbol. De ese modo podemos decir que existe la posibilidad de que los jugadores de fútbol tengan comportamientos que se alejen de lo predicho por la teoría, pero entonces los resultados serán pobres y difícilmente podrán llegar a las categorías más elevadas. Si extrapolamos esas conclusiones a otros ámbitos, creo que podríamos llegar a conclusiones interesantes sobre los supuestos de racionalidad económica. Por ejemplo, no es complicado pensar en empresas en lugar de futbolistas. Pero la información que ofrece el fútbol es cuantiosa y accesible. Me parece un gran hallazgo.
    Reciban un cordial saludo.

    • Gracias por tus comentarios, Gonzalo. Si estás interesado en cómo el ejercer una actividad profesional que exige racionamiento estratégico puede trasladarse a comportarse de una manera estratégica fuera de la profesión te recomiendo que leas los artículos de Ignacio Palacios y Oscar Volij sobre futbolistas, pero también otro sobre ajedrecistas. Lo interesante del paper sobre ajedrez es que no trata sobre estrategias mixtas, sin sobre el tipo de razonamiento que más usan los ajedrecistas, la inducción hacia atrás. Estos son los títulos: "Experientia Docet: Professionals Play Minimax in Laboratory Experiments" y "“Field Centipedes”. El primero está en Econometrica y el segundo en American Economic Review.

  • Perdón por aguar la fiesta, pero la Tª de los juegos siempre me ha parecido, en el mejor de los casos, un entretenimiento bastante inútil. Ver:

    http://bernardguerrien.com/SOMETINGTOEXPECTFROMGAMETHEORY.pdf

    O, también:

    http://fivebooks.com/interviews/ariel-rubinstein-on-game-theory

    P.S.

    En el caso de los penatis la mejor estrategia sería la recomendada por Gento-un futbolista que NO era especialista en penaltis-: Tirar muy fuerte, por el centro y arriba, pues el portero siempre se tira a un lado o a otro.

    Saludos.

    • Es interesante que el trabajo de Natxo contesta punto por punto a las críticas del primer texto (lean los dos, por favor) y no se hace mención a ello. Y Ariel es un gran intelectual, pero parece no haber leído nada en los últimos 20 años. Como Paul Krugman, por cierto. Es triste de observar.

    • Difiero con KEyNES y Paco Gento. Y como yo, la mayoría de futbolistas profesionales. Recomiendo la lectura de "David y Goliat", de M. Gladwell para los detalles, pero en esencia, tirar por el centro (o hacer la estatua) tiene un potencial de coste reputacional tremento para el judador/portero. De ahí que sea tan infrecuente y una posibilidad descartada a priori por ambas partes.
      Con respecto a la no utilidad de la teoría de juegos, no aciertas. El mercado de penaltis es transparente y un buen portero estará interesado en conocer estadísticamente las preferencias reveladas de sus "clientes" y actuar en consecuencia: los cracks, como comenta Pedro Rey son impredecibles, pero el resto de futbolistas (o economistas, o fontaneros), todo lo contrario.

    • Pues a mí, redundando en lo que comenté en al anterior post sobre penalties, la teoría de juegos aplicada al fútbol, y sobre todo, querer que los porteros la apliquen, es como querer aprender a jugar al fútbol con un futbolín. Estos señores tan racionalistas olvidan cuál es el motor del comportamiento humano, que no es la razón sino la emoción.

  • Es interesante el texto pero me parece que está intentando poner algo grande dentro de un frasco chico. Y simplemente no encaja por los limites propios del frasco.

    Mis cordiales saludos.

  • Gracias KEyNES y Ernest por vuestro comentarios:

    Está claro que para meter un penalti lo mejor es lanzarlo lo más fuerte y lejos del portero posible. Pero eso no es una decisión en la que la estrategia tenga algo que decir (a no ser que te la juegues lanzándolo flojito y al centro), sino que depende más de la habilidad de uno para hacerlo. De lo que hablamos aquí es de la decisión, que sí es estratégica de, una vez quieres lanzar fuerte y a un lado, intentar siendo impredecible en la elección del lado al que lanzas.

    Respecto al poder predictivo de la teoría de juegos, se trata de un debate más extenso en el que Rubinstein, un teórico de juegos pero también alguien que hace experimentos, tiene una de las posturas más extremas. En todo caso, la literatura experimental y el análisis de datos como los que se tratan en este artículo, pueden ayudarnos a entender mejor la relación entre la teoría y el comportamiento real en situaciones estratégicas.

  • Leí la entrada con interés, pero no entendí el razonamiento pues yo deduzco que si es correcto, debió haber ganado Holanda.
    Por un lado, se dice que el arquero de Holanda, informado, se arrojó siempre hacia el lado natural. Mientras que los argentinos, con excepción de Messi, patearon a su lado natural. Sin embargo, el holandés no atajo un solo penal, no?
    Por otro lado, los holandeses son imprevisibles, los argentinos, y todo el mundo lo sabe. ¿Para que mirar el papelito? Si dado que son imprevisibles, Chiquito debía arrojarse imprevisiblemente también.
    Quiero aclarar que mi comentario no es una crítica a la teoría de los juegos, que admiro, profundamente. Simplemente, no seguí la lógica de la entrada.
    Saludos cordiales.

    • Creo que el artículo dice que, sabiendo los Argentinos la estrategia que iban a seguir los holandeses, modificaron su comportamiento para invalidarla:
      "Disfruté aún más cuando vi que Argentina, escogía una estrategia de respuesta óptima a lo que estaban haciendo los holandeses..." y lo que viene después

    • Gracias Anita por tu comentario. Siento si parte de la explicación no ha quedado clara. Es importante resaltar que la interpretación que se hace del lanzamiento de penaltis es la de un juego simultáneo en el que cada jugador toma su estrategia óptima antes de saber la acción tomada por su rival. Obviamente, si por ejemplo el lanzador pudiera esperar un instante a ver hacia qué lado se ha tirado el portero, elegiría (y de hecho, algunos expertos lanzadores de penaltis lo hacen) enviar el balón hacia el otro lado.
      Uno de los dos goles de ventaja que tuvo Argentina se debió a que Messi no envió el balón al lado natural, el otro simplemente a que el portero, aún tirándose al lado adecuado, no alcanzó el balón. Se trata de maximizar la probabilidad de meter un gol (o pararlo), lo cual no quiere decir que siempre se consiga.
      Espero que quede más claro.

  • No entiendo muy bien la moda que se ha impuesto en la teoria economia actual de intentar explicarlo todo como si de un juego se tratara. Quizas sea mas causa de una incapacidad para interpretar el fenomeno economico como un todo que por la aplicabilidad real que la teoria de juegos tiene sobre la economia. No lo se.

    Tampoco se que porcentaje de publicaciones y trabajos de economia estan actualmente orientados en esta direcion pero me parece un asunto preocupante dada la repercusion social que tiene el que se carezca de un modelo economico predictivo y del que se puedan sacar actauciones concretas mas alla del "dejar hacer" que se ha impuesto.

    La economia es un asunto muy serio del que depende la felicidad de millones de personas y no creo que sea para tomarsela como un juego de estrategia que a mi en el fondo me parece que no explica nada. Es una opinion desde luego, pero tenia que decirla.

    (Pido disculpas por mi dureza)

    • Veo un poco de confusion. El problema desde luego no es modelar las cosas como juegos. Una situacion es un juego si los participantes toman decisiones y los resultados de una persona no depende solo de si misma. Otra cosa diferente es si la prediccion de la teoria, la nocion de equilibrio es adecuada, o si las preferencias y estrategias estan bien especificadas. Y lo que hacen los investigadores 7ncluido Natxo es averiguar cuando esto es asi. Lo mas interesante de la investigacion de Natxo es que demuestra que cuando en un juego participan profesionales con suficientes incentivos, y experiencia en el juego, la prediccion de equilibrio es extremadamente potente. Incluso en circunstancias dificiles. No olvide que es una prediccion muy precisa en terminos de probabilidades y sin embargo el participante debe ser indiferente entre las diferentes acciones! Pienselo un poco, sin prejuicios y quiza al final descubra que la mente maravillosa realmente lo es.

    • Gracias pedro por tu comentario, a pesar de su "dureza". Aunque es verdad que el nombre de "teoría de juegos" puede parecer un poco frívolo, y más si se aplica al fútbol, el nombre no debería impedir ver lo general del planteamiento y su aplicabilidad a muchísimos campos: se trata simplemente de interpretar a las personas como agentes económicos con una serie de objetivos que buscan alcanzarlos en un mundo en el que interactúan con otros individuos que tiene sus propios objetivos.
      El valor predictivo de la teoría depende de forma crucial de que sepamos entender cuáles son las motivaciones de cada uno de los agentes y también de cuáles son sus limitaciones (cognitivas, morales, ambientales...) para alcanzarlos.
      Aunque es cierto que los economistas somos un poco imperialistas respecto a la cantidad de temas sobre los que creemos poder aportar algo, creo que se debe en parte a que nuestras herramientas, permiten un mayor grado de precisión en el análisis que las de otras ciencias sociales con las que nos complementamos.

  • Siento decir que en mi opinión que este artículo está totalmente traído por los pelos:

    1. Suponiendo que los tiradores de Holanda lanzan de forma realmente imprecedible, entonces da igual a qué lado se tire el portero argentino. La probabilidad de acertar por dónde va el tiro (que evidentemente no es lo mismo que pararlo) es siempre 1/2 suponiendo que el tiro sea realmente completamente aleatorio. Luego la estrategia escogida no es óptima, es tan buena como otra cualquiera.

    2. Si el portero de Holanda se tira siempre hacia el lado natural, entonces la estrategia óptima es lanzar hacia el otro lado, cosa que los argentinos no hicieron.

    Por tanto, ni el portero ni los lanzadores argentinos hicieron nada especial que les reportara una ventaja conociendo la estrategia holandesa. Es más, los lanzadores hicieron lo contrario de lo que debían, y si miramos solamente las elecciones de los jugadores y no la calidad del tiro, Holanda debería haber ganado (el portero acertó 4 de 5 veces, el argentino solo 2 de 4). De modo que no estoy de acuerdo con las conclusiones del artículo.

    (Y 3. A todo esto hay que sumar que evidentemente hay más probabilidad de tirar bien
    si se lanza hacia el lado natural, lo cual en este artículo no se considera)

    • La optimalidad de las acciones de los jugadores es evaluado ex-ante, es decir, no a raiz del resultado obtenido ni de la acción elegida por el lanzador. Obviamente el resultado depende de la combinación de las acciones escogidas finalmente por los jugadores de ambos equipos.
      Sobre el tercer punto, aunque en mi entrada no lo comento, sí se tiene en cuenta en el análisis efectuado por Ignacio Palacios Huerta.

  • Vi en su momento el reportaje de Informe Robinson y este artículo y me parece que se está exagerando notablemente el valor que se puede sacar de unas estadísticas. Y la conclusión de este artículo lo demuestra, al final da igual tener la información estadística de tu rival o no, porque no sabes si el también lo conoce. Al final estamos en el estado inicial de incertidumbre así que no veo el progreso.
    En parte esto es porque el análisis es tosco reduciendo el análisis solo a izquierda o derecha. Una tanda de 5 penaltis no es una muestra lo suficientemente grande como para sacar conclusiones. Entiendo que como historia periodística tiene gancho, sobre todo cuando se cree que un equipo ha ganado por ello, pero científicamente creo que tiene poco valor. Un estudio serio tendría que tener en cuenta muchas más variables.
    Yo si fuese entrenador partiría de la premisa de que un penalti bien ejecutado es prácticamente imparable y trabajaría con mis jugadores en mejorar su ejecución. De hecho mi percepción subjetiva es que últimamente veo tandas de penalties con un alto porcentaje de lanzamientos de altísima calidad, posiblemente por una mayor preparación técnica y psicológica.

    • Gracias Pandas por tu comentario. Obviamente, el trabajo de Palacios Huerta tiene en cuenta una amplísima muestra de tandas de penaltis, no una sola observación. Lo que hago en esta entrada es simplemente constatar que 1) Holanda ha sido asesorada en el pasado por Palacios Huerta sobre cómo lanzar sus penaltis, 2) las acciones tomadas por los lanzadores y el portero de Holanda son compatibles con la estrategia mixta óptima del equilibrio de Nash y 3) la estrategia de Argentina fue compatible con aplicar un nivel de racionalidad mayor que el equipo de Holanda, suponiendo que los argentinos conocieran que Holanda iba a elegir la estrategia de equilibrio (y Argentina pensara que Holanda pensaba que no lo sabían).

  • Teniendo en cuenta que el papelito era un notita de su novia... esta elucubración a posteriori tiene de teoría lo que de juego 😉

    • No está tan claro que éste fuera el caso:

      http://www.marca.com/2014/07/10/futbol/mundial/argentina/1404983453.html?a=c835d61d2f75ed24308ab3fa0876b566&t=1405003858

      Como se dice en la entrada, ¿por qué iba a desvelar el portero argentino su estrategia, es decir, el verdadero contenido de la nota? ¿No estamos diciendo, precisamente, que lo peor que puede hacer un estratega, para el futuro, es desvelar sus estrategia pasada? Mejor mantener la incertidumbre. 🙂

      • Más a mi favor:
        1.-Si la estrategia no se debe desvelar es a priori, entonces que no te vean mirar el papelito.
        2.-Aquí estamos hablando, a posteriori de que la estrategia no existió: fue una nota que su mujer ha declarado haberle dado y que le trae suerte.

        Eso sí, si hay que defender una teoría más allá de los hechos la defendemos 😉

  • Hablando de estrategia me parece más clara la jugada de Van Gaal de cambiar su portero en el último minuto de la prorroga en el partido contra Costa Rica. Ellos, Costa Rica, pensaron de enfrentarse a un portero titular que no había parado un penalty en todo su carrera profesional y de repente se tienen que enfrentar a un tipo de casi dos metros que entra al campo con el único proposito de ganar la tanda de penaltis. Pero bueno quizás me quiero olvidar sobretodo de esta segunda tanda de penaltis en que Van Gaal no pude repetir su jugada 🙂

  • Para el encuadrado del problema, no habría estado de más poner 3 o 4 datos... como el % de penaltis que son transformados, y el % de los que son parados.

    Aunque, finalmente, la teoría de juegos viene a apuntar que quien posea más información sobre el rival, está en posesión de llevar la iniciativa y de ser más dueño de su destino. Frente a ese arma, la impredecibilidad que menciona el autor. Y por encima de todo, la habilidad.

    Teniendo en cuenta el relativamente escaso uso de tácticas bien programadas en el fútbol (comparado con el fútbol americano o baloncesto, por poner dos ejemplos cercanos como espectáculos de masas), estos ejercicios de elucubración me parecen muy interesantes como juegos... al igual que el comportamiento de la bolsa (mercados de valores) responde a una serie de parámetros "ocultos" que a los modelos matemáticos que insisten en aplicar los analistas (y que les dan buenos resultados, pero más por el comportamiento "desinformado" del resto de inversores que por entender mejor el verdadero valor de la empresa en la que invierten/desinvierten).

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