John Nash, premio Abel de matemáticas 2015

TUB-Prof.Nash,T-Labs22.01.2009No creo que haga falta explicar en este blog quién es John Nash, pero por decir algo diré que recibió el (mal llamado) premio Nobel de Economía en 1994 junto a Reinhard Selten y John Harsanyi por sus contribuciones a la teoría de juegos. Lo que sí que va a ser necesario es explicar qué es el premio Abel de matemáticas. Tras un primer intento fracasado a finales del siglo XIX de crear este premio, como equivalente al Nobel en un campo que el bueno de Alfred ignoró, finalmente se instauró en 2003 y efectivamente ha venido a considerarse como el Nobel de matemáticas. Quizá hayan oído hablar también de la medalla Fields, otro premio famoso en matemáticas, que se otorga cada cuatro años. Sin embargo, este premio no es comparable al Nobel porque está limitado a personas de 40 años o menos.

En este año, el premio Abel ha sido concedido a John Nash y a Louis Nirenberg "por sus notables y fecundas contribuciones a la teoría de ecuaciones en derivadas parciales no lineales y sus aplicaciones al análisis geométrico", disciplina que combina las ecuaciones con la geometría diferencial. Se preguntará usted, amigo lector, de qué demonios le estoy hablando. Déjeme que empiece con una disculpa: pese a que yo me doctoré con una tesis sobre (un cierto tipo de) ecuaciones en derivadas parciales no lineales, no soy ni mucho menos un experto en el campo que tocó Nash, así que no me haga mucho caso en lo que sigue, ya que tan sólo le voy a dar una vaga idea de por donde van los tiros de sus contribuciones.

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta básica de muchas ciencias, y en particular de la física. Una ecuación diferencial no es nada más que una descripción matemática de la evolución de una magnitud, muy a menudo de cómo cambia en el tiempo. Así, si digo que un cuerpo que cae se ve acelerado por la fuerza de la gravedad con una aceleración constante g, lo que digo es que la derivada de la velocidad con respecto al tiempo (en cristiano, la aceleración) es igual a g, y esa es la ecuación diferencial más sencilla que uno puede pensar. Dada su sencillez, es muy fácil de resolver: la velocidad es entonces (si el cuerpo que cae parte del reposo) gt, donde t es el tiempo. En general, las ecuaciones diferenciales son mucho más difíciles de resolver, y de hecho la gran mayoría resiste a nuestros intentos de solución.

Una ecuación en derivadas parciales es la misma idea, pero ahora la magnitud depende de más cosas, de más variables. La famosa ecuación de Schrödinger es una ecuación en derivadas parciales que describe como cambia en el tiempo, t, la probabilidad de encontrar una partícula cuántica (por ejemplo, un electrón) en un cierto punto del espacio, x. La ecuación involucra entonces derivadas con respecto a t y a x de una cierta función que depende de ambas. Por eso son "derivadas parciales". Y en este caso, el problema se complica aún más que en el caso de las ecuaciones diferenciales (normalmente llamadas "ordinarias"); sabemos resolver aún menos, y casi siempre hay que recurrir a simulaciones por ordenador para entender el comportamiento de la magnitud que describen. Las ecuaciones de Navier-Stokes son la base de la mecánica de fluidos, y ni siquiera entendemos bien (de manera rigurosa) como son las soluciones, por lo que hay un millón de dólares esperando a alguien que nos lo aclare.

Nash y Nirenberg han recibido el premio Abel, como decía antes, por sus contribuciones en este campo que, siento comunicarle, amigo lector de NeG, son las que les parecen interesantes a la mayoría de matemáticos, más que su trabajo sobre juegos. ¿En qué consisten sus aportaciones? Pues, básicamente, en mirar a las ecuaciones en derivadas parciales "desde dentro" (analogía que tomo prestada de la descripción de Philip Ball en Nature). Digamos que hay dos maneras de estudiar las ecuaciones. Una, que podríamos llamar "desde fuera", que las ve como las he estado describiendo, como funciones que dependen de variables que representan algo en cada problema; en ese caso, las soluciones se podrían ver como, pongo por caso, superficies en un espacio euclídeo, que en tres dimensiones viene representado por los típicos ejes coordenados XYZ que le serán más familiares. La otra visión es "meterse en la superficie" y describirla "desde dentro", sin hacer referencia a coordenadas en el espacio sino a la perspectiva que uno tiene al estar en la superficie. Para que se eche unas risas, un ejemplo gráfico es el siguiente: las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan el electromagnetismo, escritas como ecuaciones en derivadas parciales, tienen esta pinta:
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Ahí aparecen el campo eléctrico, E, y el magnético, B, mientras que los triángulos invertidos y los símbolos "div" tienen que ver con derivadas con respecto a las coordenadas espaciales. Si, por el contrario, uno usa geometría diferencial, esto se puede reescribir sencillamente como
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que es mucho más fácil, adónde va a parar... Es broma; la complejidad es la misma, solo que el lenguaje nos permite esconderla y, lo que es mejor, tratarla matemáticamente. En esta línea es en la que trabajaron Nash y Nirenberg, y sus resultados, obtenidos mediante la perspectiva "desde dentro", les permitieron abrir brecha en el estudio de numerosas ecuaciones y aportar herramientas fundamentales que luego han sido utilizadas por otros investigadores, que pudieron entender sus problemas gracias a que Nash y Nirenberg les abrieron los ojos.

Enhorabuena, pues, a ambos "jovencitos" por tan merecido premio.

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