Ganar perdiendo: la paradoja de Parrondo y sus aplicaciones, por Juan M. R. Parrondo

En un comentario a un post reciente de Antonio sobre si la ciencia es un lujo prescindible, un comentarista de nombre "peter" introdujo un off-topic pidiéndonos que habláramos de la paradoja de Parrondo, y le prometí que hablaría con el propio Parrondo (véase también aquí) y le pediría que nos hiciera un post. Muy amablemente, accedió y hoy tenemos el lujo de contar con una explicación de este interesante y sorprendente fenómeno de la mano de su propio descubridor. Con él les dejo, dándole las gracias por el post y seguro de que lo disfrutarán. 

Hace ya la friolera de 15 años apareció en Nature un breve artículo titulado “Losing strategies can win by Parrondo’s paradox”, de los investigadores australianos Derek Abbott y Gregory P. Harmer, y su correspondiente reseña ”Good news for losers" de Philip Ball. El artículo hablaba de una paradoja de la teoría de la probabilidad que se puede formular de manera muy sencilla: dos juegos de azar perdedores dan lugar, cuando se alternan, a un juego ganador.

Uno de los juegos en cuestión es algo peculiar, está específicamente diseñado para producir este efecto y no se encuentra en ningún casino o lotería. A pesar de ello la paradoja tuvo una repercusión considerable en medios de comunicación. Todo el mundo puede entenderla, es a primera vista sorprendente y transmite un “mensaje” optimista (aunque la paradoja se puede invertir de forma trivial de modo que dos juegos ganadores den lugar a uno perdedor) que da mucho juego a la hora de titular artículos de divulgación: Losing to win, Qui perd gagne, Lady luck: treat her bad and still be glad,…

En el mundo académico la paradoja ha atraído el interés de investigadores de distintos campos, sobre todo de matemáticas, biología, ecología y economía; y aparece ya en alguna enciclopedia de matemáticas y en libros de texto de probabilidad.

Pero vayamos al asunto. En este post voy a explicar brevemente la paradoja original y a intentar dar una explicación intuitiva del fenómeno. Luego describiré algunas variantes y aplicaciones en especial en análisis financiero, que supongo que son las que más interesan a los lectores de NeG. Aunque adelanto que esas aplicaciones no son para tirar cohetes, precisamente.

Los dos juegos de la paradoja original son juegos de azar en los que un jugador puede ganar o perder un euro con cierta probabilidad. En el primero de los juegos, llamémoslo A, el jugador gana un euro con probabilidad 49,5% y pierde con probabilidad 50,5%. Este juego, debido al pequeño sesgo que separa las probabilidades del 50%, es un juego perdedor. El jugador, en media, pierde de forma sistemática. En el juego B, las probabilidades dependen de lo que el jugador ha ganado hasta el momento (llamaremos a esa cantidad el capital). Si lo que lleva ganado es múltiplo de 3, entonces gana con probabilidad 9,5% y pierde con probabilidad 90,5%. Si el capital no es múltiplo de 3, la probabilidad de ganar es 74,5% y la de perder 25,5%. Como se ve, el juego B es en ocasiones bastante favorable, pero en otras (cuando el capital es múltiplo de 3) es muy desfavorable. Los números están escogidos para que, en media, el juego sea perdedor (aunque demostrarlo matemáticamente no es sencillo). En el siguiente esquema se resumen la reglas de los dos juegos:parr1

En la figura se representan las probabilidades mediantes distintas monedas, una de ellas favorable (en verde) y las otras dos desfavorables (en rojo). Esta representación es conveniente para la discusión posterior. Como hemos dicho, en los dos juegos el jugador pierde, en media, de forma sistemática. Sin embargo, si se alternan siguiendo la secuencia AABBAABB… el jugador gana. Y no es ésta la única secuencia que produce ganancias. Jugando A tres turnos, seguidos de dos turnos de B, la ganancia es aún mayor. Incluso si en cada turno se elige al azar el juego A ó B (combinación aleatoria), también gana el jugador de forma sistemática. En la siguiente figura se puede ver la ganancia media de 5000 jugadores en función del número de turnos, jugando a A y B únicamente o a distintas secuencias (los números entre paréntesis [a,b] indican la secuencia utilizada: a turnos del juego A, seguidos de b turnos del juego B):parr2

La ganancia media es pequeña, no llega a dos euros en 100 turnos, pero el efecto “paradójico” es perfectamente visible. ¿Cuál es el mecanismo que da lugar a este comportamiento? La clave está en lo que ocurre en el juego B cuando el capital es múltiplo de 3. En ese caso se juega una moneda muy desfavorable (la moneda 3 en la figura anterior), con una probabilidad de ganar inferior al 10%. Si representamos el capital del jugador mediante casillas en una línea:parr3

las casillas múltiplo de 3 son muy difíciles de superar cuando jugamos a B. Lo que hace el juego A es ayudar a superar esas casillas difíciles. Este mecanismo es de hecho el que inspiró la paradoja original y era conocido en física como “efecto ratchet” (en inglés ratchet es una rueda dentada con dientes asimétricos y que puede girar sólo en una dirección. En relojes y otros dispositivos, las ratchets se utilizan, entre otras cosas, para rectificar un movimiento fluctuante u oscilatorio convirtiéndolo en movimiento en una dirección). Aquí pueden ver una simulación de este efecto (hace falta Java) en un modelo llamado motor browniano, muy utilizado para estudiar motores moleculares en células biológicas.

Entender este mecanismo nos permitió encontrar una variante del juego B en donde las probabilidades no dependen del capital sino de los dos últimos resultados. Esta variante ha sido utilizada por Spurgin y Tamarkin en un modelo muy simple de gestión de carteras. Raúl Toral, del IFISC, diseñó otra variante muy ingeniosa: simuló un grupo de jugadores y sustituyó el juego A por una redistribución del capital. El resultado es similar a la paradoja original. Sin redistribución todos los jugadores juegan B y, por tanto, pierden. Sin embargo, cuando se intercalan turnos de redistribución de capital, en el que unos jugadores dan un euro a otros (Toral exploró varios mecanismos de redistribución), entonces todos ellos ganan.

Ambos modelos pueden considerarse “de juguete”, es decir, modelos que no tratan de ser realistas sino únicamente poner de manifiesto algún hecho básico. En mi opinión, es difícil que la paradoja, en una versión parecida a la original, se observe en un sistema real. Es necesario en primer lugar unas probabilidades de ganar y perder que dependan del capital o del historial de ganancias y pérdidas, algo que no ocurre en sistemas financieros o económicos. En segundo lugar, tiene que ser pertinente algún tipo de alternancia que el jugador no pueda controlar, o bien una situación en la que el jugador no conozca las probabilidades, puesto que, si las conociera, alternaría entre los juegos A y B de forma trivial, eligiendo A cuando el capital es múltiplo de 3.

En esta última observación se basaron Raghuram Iyengar y Rajeev Kohli, de la Universidad de Columbia, en su artículo Why Parrondo’s Paradox is Irrelevant for Utility Theory, Stock Buying and the Emergence of Life. El artículo es algo pedestre y sus conclusiones aventuradas, pero nos fue útil para plantearnos un nuevo problema relacionado con los juegos: ¿qué ocurre si varios jugadores tienen que tomar una decisión colectiva y elegir si juegan A ó B? Aquéllos cuyo capital es múltiplo de 3 preferirán A y el resto querrán jugar a B. ¿Cómo pueden ponerse de acuerdo? Junto con Luis Dinis y otros colaboradores analizamos la eficacia de distintos mecanismos de toma de decisiones (democracia, optimización de ganancia en cada turno, oligarquías,…) con resultados interesantes como que la optimización a corto plazo puede dar lugar a pérdidas sistemáticas mientras que una elección aleatoria del juego da lugar a ganancias sistemáticas. Pueden consultarse los resultados en la tesis de Luis. De nuevo se trata de modelos de juguete que sólo tratan de llamar la atención sobre hechos básicos de sistemas aleatorios.

La paradoja transmite también un mensaje muy general: “la alternancia no es trivial”. Aunque no es excesivamente novedoso, ha inspirado varios trabajos interesantes y ha aumentado el interés por la alternancia de dinámicas: dos dinámicas caóticas que dan lugar a una ordenada, patrones producidos por la alternancia de dinámicas, un modelo para la evolución de la población de un virus en el que éste prolifera si hay alternancia entre distintas condiciones (verano e invierno por ejemplo) que por sí solas serían letales,… En estos casos el origen del comportamiento paradójico es un cierto antagonismo entre el comportamiento estacionario y el transitorio en cada una de las dinámicas. Cuando éstas se alternan, el transitorio se estabiliza y observamos un comportamiento muy diferente del que produce cada dinámica por separado.

Este es un mecanismo que puede ser interesante en economía, donde me da la impresión de que en ocasiones se subestima la importancia de los comportamientos transitorios.

Una última aplicación en finanzas. En varios trabajos se ha relacionado la paradoja con un mecanismo conocido como volatility pumping, en el que la redistribución del capital en una cartera compuesta por activos que se deprecian puede conducir a ganancias sistemáticas. Aunque existe una cierta semejanza en su formulación, la matemática que subyace al volatility pumping es diferente de la de los juegos paradójicos. El volatility pumping se basa en una propiedad curiosa de los llamados procesos aleatorios multiplicativos: procesos en los que una variable, como el precio de una acción, se multiplica cada día por un factor aleatorio. En ciertos procesos multiplicativos el comportamiento medio y el típico son muy diferentes: la media puede crecer y, al mismo tiempo, las trayectorias típicas pueden ser decrecientes. Al redistribuir el capital entre los distintos activos, y bajo ciertas condiciones, lo que se consigue es favorecer el comportamiento medio frente al típico. Aquí pueden ver una exposición muy simple del fenómeno (artículo de pago).

Como habrán podido ver, las aplicaciones de la paradoja en economía y finanzas son algo limitadas. Como he mencionado antes, creo que es difícil encontrar aplicaciones de la paradoja en estos campos y más aún extraer conclusiones genéricas del tipo “alternar políticas económicas es positivo”. Sin embargo, los juegos paradójicos revelan un comportamiento inesperado que sí debería tener presente la gente que trabaja con modelos estocásticos. Además de eso, creo que la paradoja, como ocurre con la mayoría de los fenómenos paradójicos o que desafían nuestra intuición, invita a la reflexión y a tomar ciertas precauciones a la hora de aplicar argumentos que a primera vista parecen incontestables.

 

 

Anxo Sánchez es Doctor en Física Teórica y Matemática por la Universidad Complutense de Madrid y Catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad Carlos III. Tras dedicar quince años a estudiar solitones, dispositivos semiconductores y crecimiento de materiales, en los últimos años sus áreas de investigación tienen que ver con las aplicaciones de herramientas físicas y matemáticas en campos que van desde la biología a la economía, casi siempre desde la perspectiva de los sistemas complejos.

Hay 13 comentarios
  • Muy interesante! y muchas gracias por presentar la entrada, desconocía

    ¿y los politólogos no encuentran aplicaciones en su campo...?

    • Pues no les de ideas hombre, porque al primer campo que intentaran encontrar aplicacion será el cobro de comisiones

  • Muchas gracias. Es muy sugerente. Es como surfear probabilidades :-). Puedes mantenerte e incluso subir aunque realmente siempre estás bajando.

  • Gracias por la entrada. Como Vd. señala, las paradojas son muy estimulantes, a pesar de que en este caso en efecto, los juegos descritos parecen muy ad hoc. Respecto a la afirmación de que "“la alternancia no es trivial”, se me ocurre que quizá pueda tener aplicación en sistemas políticos bipartidistas: ¿hay alguna sucesión de partidos de gobierno que sea mejor para el bienestar general?

  • Muy interesante. Veo que puede tener aplicación política. El juego A podría ser que el partido que gobierne presente alternativas que, de la misma manera que pueden reforzar su posición, pueden conducirlo a la oposición, es decir, medidas controvertidas. El juego B puede ser el funcionamiento normal del sistema político, que depende mucho de la historia pasada. Los partidos, tanto del gobierno como de la oposición, tienden a dejarse llevar por la inercia y no entrar en grandes "charcos". El partido gobernante suele tender a ganar las elecciones, sin necesidad de grandes esfuerzos, porque cuenta con el apoyo mayoritario, pero en un porcentaje de casos (por ejemplo ante una crisis), podría ser el caso de la moneda 3, se enfrenta a una situación enquistada donde es muy probable que pierda las elecciones si presenta propuestas políticamente correctas. Si pierde, al llegar otro partido, se enfrenta a una situación tan enquistada como el que marchó, y sigue teniendo una alta probabilidad de perder (sigue en un múltiplo de tres). Para salir de ese múltiplo de tres debe optar por jugar por la opción de políticas polémicas, que aclaran la situación política del país, en un sentido o en el otro (el juego A). Es decir, creo que la polémica política, abordar debates difíciles, puede aportar estabilidad al sistema, puede contribuir a salir de esas situaciones enquistadas (que serían como el múltiplo de 3 donde, gobierne quien gobierne, tiende con una probabilidad alta a no convencer).

    Un cordial saludo.

    • Gracias por los comentarios. El que propone puede ser un modelo interesante. Sin embargo como digo en el post, yo soy bastante escéptico con la posibilidad de extraer conclusiones generales de la paradoja. Creo que debe actuar en al forma contraria: advirtiendo de que es peligroso aplicar argumentos del tipo "si A es negativo y B es negativo entonces no se puede esperar nada bueno de alternar o combinar A y B" (o lo contrario, como dice peter más abajo).

  • Los politólogos , mas bien sus augures estadísticos, confunden con frecuencia los modelos determinísticos con los modelos estocásticos. Manejan pocas variables y piensan que el azar no existe , ya que piensan que ellos - y sólo ellos - imponen o crean las diferentes opciones y probabilidades. Se confirma el bajo nivel científico del llamado pólitico profesional , que está muy limitado para modelar procesos estocásticos al no comprender conceptos de probabilidad y estadística. Están en manos de augures pseudocientíficos estadññsiticos de renombre famoso.

  • Evidentemente, empezar con una mencion de agradecimiento tanto a Anxo Sanchez como a Juan Parrondo. La magia de un blog como este es que puedes interactuar con tipos de tal altura intelectual con bastante facilidad.

    Reconozco que desde que conoci el tema, siempre me habia inquietado la posibilidad de la paradoja en sentido inverso: que una estrategia de inversion a priori ganadora (una rentabilidad esperada x, y una volatilidad y) alternada con otra, acabase dando lugar a un portfolio perdedor solo por un cambio en las correlaciones entre los activos en juego. Vamos que no es que me interesara como forma de crear una estrategia ganadora si no al reves, como una paradoja con efectos reales cuyo entendimiento es necesario para gestionar los riesgos.

    Como digo, muchisimas gracias a ambos por el interes y el esfuerzo para iluminar un poco a profanos en la materia.

    • Gracias por el comentario,

      en efecto, la paradoja se invierte de forma trivial permutando las probabilidades de ganar y perder. También se pueden convertir dos juegos justos en perdedores o en ganadores. En mi opinión, lo importante es que la alternancia provoca un resultado opuesto al de cada uno de los juegos por separado

  • La "paradoja" es el resultado de una situación en que casi se cumplen las condiciones del teorema del "optional stopping time"... solo que no. Luego el resultado de "combinar" esas dos "supermartingalas" (dado que una de ellas no lo es) mediante un algoritmo aleatorio (o ingenioso) no es otra supermartingala. Los detalles matemáticos están en http://www.datanalytics.com/2012/01/31/cosa-prodigiosa-iii-epilogo/

    Así vista, es una paradoja hermanada con la de San Petersburgo. Es otro caso en el que no se cumplen las hipótesis bajo las que rige el teorema anterior.

    Desafortunadamente, pocos "juegos" se nos ofrecen que no sean supermartingalas. De otra manera, el que los propusiese se arruinaría enseguida, como ha pasado en alguna ocasión: recuérdese aquella lotería catalana que se suspendió después de que algún espabilado encontrase "el truco".

    Finalmente, no estaría de más señalar que la "paradoja" ya entró en el mundo de la divulgación de la mano de J.A. Paulos en su libro "Un matemático invierte en la Bolsa" (2003). Ahí ya se especula con posibles aplicaciones de la cosa. Pero en diez años largos, nihil.

    • Gracias, Carlos, por el comentario.

      En las charlas sobre todo ante matemáticos suelo aclarar que la noción de "juego justo" (o perdedor o ganador) en matemáticas es más restrictiva que la que se usa en estos juegos paradójicos. Aquí sólo nos fijamos en el valor medio de la ganancia en el estado estacionario. En teoría de la probabilidad un juego justo se identifica con una martingala. Ambas definiciones son pertinentes. En mi opinión, restringirse a una de ellas es limitar la investigación sobre sistemas estocásticos.

  • Por aportar mi granito de arena, dado que este mes no he trabajado en el post, diré que a mí esto me parece un ejemplo precioso de uno de los mecanismos por los que aparece la complejidad: la existencia de ciclos de retroalimentación (feedback) no triviales. En este caso, el juego (entendido como el superjuego combinación de ambos) alimenta al capital ganado (o perdido), y el capital alimenta al juego (cambiando las probabilidades de ganar o perder). Este tipo de ciclos está en la raíz de numerosos comportamientos complejos y, en particular, de cambios bruscos de comportamiento al variar algún parámetro del sistema de que se trate (ya que la variación es amplificada por el ciclo).

  • Los politólogos no se, pero yo encuentro una aplicación muy razonable para el campo político: la alternancia (política), por si sola puede llevar a resultados sorprendentes: dos juegos negativos con un resultado positivo. Históricamente se pueden encontrar ejemplos, retorciendo un poco la cosa puede citarse el desarrollo de España durante la transición.

Los comentarios están cerrados.