Russell Crowe levanta pasiones explicando (o no) el equilibrio de Nash

De Ciril Bosch

“No es por la benevolencia del carnicero, del cervecero ni del panadero que podemos contar con nuestra cena, sino por su propio interés”. (Adam Smith, Libro I, Capitulo II, La Riqueza de las Naciones, 1776)

crowe nashTodos sabemos que internet es propicio a las discusiones, algunas tocan más de cerca a los lectores de este blog, otras menos. La entrada de hoy va sobre una que levanta pasiones y tiene como protagonista a Russell Crowe. Para ser más precisos tiene como protagonista a Russell Crowe en el papel de John Nash en la “escena del bar” de la película “Una Mente Maravillosa” ("A Beautiful Mind"),  que ya fue comentada en una fantástica entrada de Pedro Rey donde hablaba de cine y teoría de juegos. Para aquellos más desmemoriados, déjenme hacer un breve resumen.

John Nash (Russell Crowe) se encuentra en un bar junto a unos amigos cuando irrumpe una rubia espectacular y sus amigas (menos espectaculares). Tanto John como sus amigos solo tienen ojos para la rubia e ignoran a las amigas. Sabiendo que todos irán a por la rubia y que la competencia será feroz uno de los amigos de Nash cita (más o menos) la famosa frase de Adam Smith “No es por la benevolencia del carnicero, del cervecero ni del panadero que podemos contar con nuestra cena, sino por su propio interés”. Ante tal perspectiva de competencia y viéndoselas venir John Nash  tiene una epifanía; “Adam Smith se equivocaba” anuncia, y su razonamiento es “si todos vamos a por la rubia, nos bloqueamos y nadie se la lleva. Como a las amigas no les gusta ser segundo plato, todos nos quedamos sin nada. En cambio si todos vamos a por las amigas e ignoramos a la rubia, entonces todos estaremos mejor.” Al grito de “Adam Smith se equivocaba” John abandona el bar.

La interpretación generalizada de esta escena es que el director de la película está intentando explicar al espectador el concepto de equilibrio de Nash. De hecho si uno busca en Google “bar scene beautiful mind” encontrará docenas de entradas en diferentes blogs o clases de teoría de juegos donde los autores discuten sobre la escena y el equilibrio de Nash (por ejemplo ésta, ésta o  ésta). En todas ellas los autores se lamentan agriamente sobre el hecho de que la escena describe incorrectamente el equilibrio de Nash. Otro tanto en YouTube, donde si uno hace la misma búsqueda que antes, el primer “hit” que obtendrá se titula “Nash Equilibrium” y es la escena del bar mencionada arriba. El clip tiene medio millón de visualizaciones y unos 460 comentarios, la mayoría de los cuales discuten si la escena describe o no correctamente un equilibrio de Nash. Pero, ¿Por qué hay tanta discusión alrededor de esta escena? ¿Por qué levanta tantas pasiones Russell Crowe? La razón es simple, porque la escena parece querer describir un equilibrio de Nash, ¡pero no lo hace! Cualquier persona que haya tomado una clase básica de teoría de juegos entiende que si todos los amigos de Nash van a por las amigas de la rubia, su mejor estrategia es ir a por la rubia. Pero, ¿Por qué fracasa tan estrepitosamente en describir el equilibrio de Nash una película donde todos los aspectos técnicos estaban supervisados por un matemático? De hecho ¿Por qué demonios hablan de Adam Smith para describirnos el equilibrio de Nash? La respuesta es sencilla: ¡porque la escena no intenta explicar lo que es un equilibrio de Nash! La escena intenta describir algo mucho más profundo: ¡las consecuencias de los equilibrios de Nash!

Y es que, como explicaba Pedro en esta otra entrada sobre Nash, el matemático tiene una segunda contribución a la Economía tan importante como su concepto de equlibrio: su teoría de la negociación. Relacionado con su concepto de negociación, Nash explica que en juegos no cooperativos la ambición individual no tiene porqué beneficiar el bien común, lo que conecta su propuesta con la mención a Adam Smith en la escena de la película. Por eso precisamente, en otra escena el supervisor de la tesis doctoral de Nash le espeta que su tesis desafía “150 años de historia económica” ¡Nash demuestra (en contra de lo que dice Adam Smith) que el interés individual no conlleva siempre el bien común!

Este resultado se hace evidente en el famoso “dilema del prisioneros”. El juego consiste en dos ladrones a los que han pillado con las manos en la masa y están siendo interrogados en dos celdas separadas. El dilema al que se enfrentan es: si uno confiesa y el otro no, aquel que ha colaborado se lleva 1 año de condena y el otro 8, si ambos confiesan les caerán 5 años a ambos y si ninguno confiesa se irán con 2 años por cabeza. El juego se puede describir con la siguiente la matriz:

Confesar No Confesar
Confesar -5, -5 -1, -8
No Confesar -8, -1 -2, -2

 

Está claro que el “bien común” (la combinación de decisiones que  nos da el resultado agregado  menos malo) se da cuando ninguno de los prisioneros confiesa. Pero, la ambición individual (aquello de lo que hablaba Smith), hace que el único equilibrio de Nash sea que ambos confiesen… ¡el peor resultado a nivel agregado!

Las implicaciones de este resultado son profundas y seguramente más importantes que la existencia del equilibrio en sí. Por ejemplo, el equilibrio de Nash nos puede llevar a explicar las razones detrás de la escalada armamentística entre la URSS y los EUA. Está claro que el óptimo social (la suma agregada de utilidades) sería mayor firmando un acuerdo de no proliferación (en el ejemplo no confesar, no confesar), pero las “ambiciones individuales” hacen que el equilibrio único sea la carrera armamentística. Otro ejemplo de este tipo de juegos es la existencia de la corrupción. Imaginad que las estrategias son ahora pagar una mordida del 3% o no pagarla, o casos como el doping en los deportes, o colarse en una fila… Nash incluso lo aplica en su tesis doctoral a una partida de póker a tres jugadores (recomiendo echar un ojo a la bibliografía). Todos son ejemplos de juegos no cooperativos donde la ambición individual... !nos lleva a un resultado subóptimo!

Finalmente déjenme añadir que en la mayoría de las críticas sobre la escena del bar el director Ron Howard es el que más recibe, y en mi caso no va a ser menos. La escena es confusa y el hecho de que lleve a mucha gente a creer que está describiendo un equilibrio de Nash es muestra de ello. Es más, en el guion original de la película, se hace algo más de hincapié en el hecho de que lo transgresor de Nash no es que demuestre que existen equilibrios de Nash, sino las consecuencias que tienen (pg. 23):

John Nash: Adam Smith dijo que para el mejor resultado cada miembro del grupo debe hacer lo mejor para él.

Milnor: Sí Nash, es la base de toda la teoría económica moderna.

John Nash: Se equivocaba ¡El mejor resultado viene de que cada uno haga lo que es mejor para él y para el grupo!”

Hay 14 comentarios
  • "¡Nash demuestra (en contra de lo que dice Adam Smith) que el interés individual no conlleva siempre el bien común!"
    Fíjese lo que dice Smith.
    "As every individual, therefore, endeavours as much as he can both to employ his capital in the support of domestic industry, and so to direct that industry that its produce may be of the greatest value; (...) He generally, indeed, neither intends to promote the public interest, nor knows how much he is promoting it. (...) and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to promote an end which was no part of his intention. Nor is it always the worse for the society that it was no part of it. "
    Primero, nótese el uso de "generally", "in many cases", etc. Segundo, aunque no hay acuerdo sobre el contenido de la expresión "invisible hand" (creo que Mieses aseguró que se trataba de Dios) la mayoría de economistas están de acuerdo que se trata del libre mercado y el sistema de precios (Hayek, 1945). Es, por tanto, curioso que en su discusión no mencione ninguna vez la palabra "mercado" o "precio". Si cada mujer tuviera un precio (como en la famosa subasta en Babilonia,), los intereses individuales tenderían a producir un resultado acorde con el bien común.

    • " Si cada mujer tuviera un precio (como en la famosa subasta en Babilonia,), los intereses individuales tenderían a producir un resultado acorde con el bien común."

      No necesariamente. El precio tiene que aparecer no solo en un mercado, sino tambien en un mercado que satisfaga una serie de condiciones muy estrictas (suficientes compradores y vendedores, ausencia de informacion asimetrica, etc.). Y un mercado aislado no tiene sentido: hay que pensar en todos los mercados simultaneamente. Por ejemplo, el mercado del bono A puede funcionar correctamente, pero si el mercado del bono B no lo hace, es trivial crear ejemplos donde el precio del bono A no es el correcto. Ademas, si lo que aspiran las personas en el bar es a una relacion interpersonales duradera, nos encontramos con docenas de problemas adicionales (falta de mecanismos de compromiso intertemporal, etc.).

      En general, la principal leccion de la economia moderna es que los mercados son, muchas veces pero no siempre, un mecanismo adecuado de asignacion de recursos pero uno no puede "sobrevender" los mismos.

      En todo caso de acuerdo con que la gente deberia leer mas a Adam Smith.

      • Hola Daniel y gracias por tu comentario. Tienes razón que la referencia a Adam Smith esta un poco exagerada, pero es una"licencia poética" que se toma el guionista para hacer una poco mas dramática la contribucion de Nash.
        Por otro lado, y al hilo de lo que comenta Jesús, Adam Smith hace referencia a un tipo de mercado muy especifico y con muchas restricciones donde efectivamente la ambición individual lleva al resultado más eficiente. Pero claramente ese no es el caso de las chicas en el Bar.
        El objetivo de la entrada en cualquier caso era discutir el hecho de que la "escena del bar" no intenta mostrar el concepto de equilibrio de Nash, y a la vez dejar una intuición que una de las grandes contribuciones de Nash fue explicar que en los juegos competitivos los equilibrios no tienen porque ser el óptimo social. Como digo arriba, Adam Smith esta incluido "en la ecuación" para hacer el paquete un poco más atractivo para los espectadores.

  • Gracias por la explicación. Es una duda que siempre se genera entre los estudiantes de T. de Juegos.

  • Respecto al dilema del prisionero, hay que añadir que cuando el juego se realiza con repetición indefinida, cooperar es la mejor estrategia, tal y como 'descubrió' Robert Axelrod. (en relación a la carrera armamentística, USA y URSS con el tiempo firmaron tratados para evitarla). Y utilizo las comillas porque el funcionamiento del mercado es en sí mismo un juego del prisionero, y sin embargo los vendedores estafadores, y los consumidores ladrones, son muy pocos. El interés egoísta de las partes pasa por mantener en el tiempo la relación comercial, lo que implica no ser deshonesto (o al menos no mucho) con la otra parte. Por lo tanto Adam Smith sigue teniendo razón, y el dilema del prisionero no es tal, sino una simplificación matemática que por eso mismo pierde la perspectiva de la situación que pretende representar.

  • Desde Galileo la ciencia no consiste en explicar sino en predecir. Bajo este enfoque, la TdeJ es una de las mayores estafas intelectuales del siglo XX: su capacidad predictiva es prácticamente nula. Se puede provocar que los equilibrios de Nash existen, efectivamente, pero fuera del lugar donde el juego predice que van a ocurrir. Hay decenas de ejemplos que lo prueban. Verbigracia, el Ultimatum game. La hipótesis de racionalidad del homo economicus –en sus múltiples variantes- es aberrante: la racionalidad del homo economicus es propia de un robot programado con inteligencia artificial pero no tiene nada que ver con la racionalidad del homo sapiens.
    Por otra parte, respecto a lo de Adam Smith, el programa de Von Neumann, juegos cooperativos en que las partes llegan a un entendimiento, fracasó cediendo el paso al enfoque de Nash, con soluciones no cooperativas individualistas dando lugar a las paradojas de la acción colectiva en las que soluciones que serian benéficas para el mayor número no se obtienen habida cuenta que la racionalidad del individuo lo impide. Es decir se llega a un equilibrio que no corresponde a un óptimo social. En general, un equilibrio de Nash no lleva a un óptimo social.
    ¿Alguien de por aquí leyó este artículo de Ariel Rubinstein en el Frankfurter Allgemeine Zeitung?: (http://www.faz.net/aktuell/feuilleton/debatten/game-theory-how-game-theory-will-solve-the-problems-of-the-euro-bloc-and-stop-iranian-nukes-12130407.html )

    • Perdon por mi tardía respuesta. No puede uno ni despistarse durante el fin de semana!

      Me parece exagerado tildar a la teoría de juegos como una de las mayores estafas del siglo XX. Como siempre, tiene sus lados buenos y malos. De hecho, la argumentación de que la teoria de juegos no es valida porque se basa en la suposición del homo aeconomicus es incorrecta. La teoría de juegos no asume que seas un homo aeconomicus, lo único que asume es que eres racional, lo cual no implica que no te importen los pagos de los otros jugadores! Si sabes la matriz de pagos exacta de los jugadores en un ultimatum game, entonces podrás predecir exactamente sus acciones.

      Sobre el articulo, por mucho que admire a Rubinstein, me parece que exagera. Nadie proclama que al teoria de juegos sirve para explicar TODO lo que ocurre en el mundo. De hecho su ejemplo le delata ; los libros de teoría de juegos no dicen "Game theory IS the answer to....", sino que dicen sencillamente "Game theory is relevant to..." (pg 2, linea 7) . La primera afirmacion no sería seria, mientras que la segunda nos abre las puertas a usar al teoría de juegos como punto de partida para pensar sobre cierto tipo de situaciones y sus resultados observados.

  • Estoy de acuerdo con Antonio, cuando la repetición es infinita, cooperar puede ser un equilibrio. Aunque no siempre! La cooperación resultara como una mejor respuesta dependiendo de las tasas de descuento y de los detalles específicos del juego. Como dices los juegos son simplificaciones del mundo real, pero precisamente por eso el dilema del prisionero es importante. En un juego simple, con pagos bien definidos y un óptimo social obvio, no conseguimos que se llegue a este óptimo!

    Finalmente, déjame puntualizar que el objetivo de esta entrada no era discutir si Nash contradice a Smith, sino más bien poner de relieve que en la escena del bar que tanto se discute en internet, el director no intenta explicar un equilibrio de Nash. Lo que intenta explicar es esta aparente contradicción entre Smith y (algunos) equilibrios de Nash.

  • Que la racionalidad ordinaria del individuo no produce la mejor solución colectiva es una conclusión a la que conducen el simple sentido común y la observación del mundo. Hay ejemplos prácticos por millares. ¿Podemos considerar "ciencia" a algo que no permite llegar más lejos que el simple sentido común?

    Para que los mercados libres condujeran sistemáticamente al óptimo social, sería necesario crear un nuevo ser humano, uno de racionalidad "categórica", es decir, cuyos actos voluntarios estuvieran regidos exclusivamente por el imperativo categórico. Esto lo comprenden hoy hasta los "austrófilos" más recalcitrantes, los cuales, ante tal evidencia, mayormente han evolucionado de posiciones utilitaristas propias de una lectura superficial de Adam Smith ("la libertad de cada individuo es buena porque es lo más útil para todos") a otras fundamentalistas ("la libertad de cada individuo es el valor ético supremo, que no puede estar supeditado a ninguna otra cosa deseable").

    Las consecuencias de dicho fundamentalismo son, naturalmente, absurdas. Esto no sería preocupante si los postulados "austrófilos", precisamente por su extrema simplicidad conceptual, no gozaran de tan gran capacidad persuasiva entre personas poco formadas.

    • Completamente de acuerdo. En la TdeJ todo es falso, empezando por la paternidad. En más de una ocasión leí que la Teoría de juegos nació en las mesas de póker de Princeton como consecuencia de la afición de Von Neumann y Morgenstern a las cartas. No es cierto, los trabajos seminales son de la autoría del matemático francés Émile Borel, uno de los mejores de su tiempo. Incluso hay quien le atribuye una paternidad anterior, concretamente a Louis Bachelier por su Théorie mathématique du jeux (1901). En cualquier caso, el matemático francés Jean Ville simplificó y extendió el teorema de Von Neumann a variables continuas. Rigurosamente, en una nota aclaratoria de su libro Applications de la Théorie des Probabilités aux Jeux de Hasard (1938), Borel precisó que las aplicaciones prácticas del teorema a los juegos de azar eran ilusorias habida cuenta de su incapacidad predictiva.

    • <> El sentido común también nos dice que si saltamos, volveremos a caer, y que la lluvia moja. El hecho científico le aporta una explicación rigurosa a esos fenómenos, estable y repetible bajo las mismas condiciones. Puede que no sea la panacea, y los habrá dignos de un IgNobel, pero es ciencia. Saber cómo crear escenarios óptimos de equilibrio permite construirlos cuando existen las condiciones adecuadas para ponerlos en práctica. No es la solución definitiva, pero puede servir de ayuda.

  • Muchas gracias por la información.

    La teoría de juegos es sólo un ejemplo de la hipermatematización cancerosa y autista que ha experimentado la economía en las últimas décadas, mientras los "expertos" eran sistemáticamente incapaces de predecir lo que iba a ocurrir en el mundo real.

    La fuerte tendencia al corporativismo chauvinista que se presenta en el mundo académico anglosajón (cita mutua sistemática en bucle cerrado, ignorando aportaciones llegadas de otros países) también explica el frecuente ninguneo de autorías foráneas. La papanatería "anglorreverente" de países con escasa tradición científica, como el nuestro, contribuye a cebar no pocos prestigios infundados. Por ejemplo, es bien sabido (y tuvo que ser Schumpeter quien se encargara de señalarlo) que la Escuela de Salamanca ya explicó la creación del sistema de precios por el libre juego de la oferta y la demanda, 200 años antes de Adam Smith.

    Este problema de parcialidad pro-anglo amplificada por dóciles epígonos periféricos se presenta, claro está, en otros ámbitos. Recuerdo haber ojeado con estupor una introducción a la ciencia de John Gribbin (hay, cómo no, versión española en la colección Drakontos de editorial Crítica) en la que el inglés se las arregla para exponer el nacimiento de la química moderna sin mencionar a Lavoisier.

  • El problema de la teoría económica (cosa distinta es la economía empírica) no es que se empleen demasiado las matemáticas sino que se emplean poco y mal.
    Las funciones, como objeto matemático, solo tienen sentido cuando se trata de equilibrio parcial pero no tienen ningún sentido, por los problemas de agregación subyacentes, en el ámbito macroeconómico. En macroeconomía habría que recurrir a funcionales, objetos matemáticos más difíciles de manipular y que plantean problemas de demostración de existencia respecto a las soluciones encontradas. Cuando se encuentran.
    En cuanto a la TdeJ es de una indigencia matemática lamentable. Una TdeJ digna de ese nombre debería apoyarse más ampliamente en la Teoría de la Información de la física y las matemáticas . Pero eso son palabras mayores.

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